مجسم دوراني

منحنى الدوران.

محور الدوران (Axis of Revolution)، إذا دارت منطقة مستوية حول مستقيم في مستواها دورة كاملة (Complete Revolution)، تكون من دورانها مجسم دوراني (Solid of Revolution)، وكان الخط المستقيم الذي دارت حوله هذه المنطقة هومحور الدوران. وهومحور تماثل بالنسبة إلى المجسم الدوراني الناشيء.

حساب الحجم

رموز :

r = نصف القطر

h = الارتفاع

A = المساحة أومساحة القاعدة

V = الحجم

يتم حساب الحجم بعدة طرق ,منها :

تقوم الطريقة على تقسيم الجسم إلى أقراص غير متناهية.

محور الدوران هوالمحور السيني

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور السينات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

{\displaystyle V=\pi \int _{a ^{b {\left[R(x)\right] ^{2 \ \mathrm {d x

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

محور الدوران هوالمحور الصادي

إذا كان المجسم الدوراني ينتج عن دوران منطقة مستوية حول محور الصادات فإنه حجمه يعطى بالمعادلة :

{\displaystyle V=\pi \int _{a ^{b {\left[R(y)\right] ^{2 \ \mathrm {d y

حيث R هي المساحة بين الدالة ومحور الدوران .

التكامل الطبقات الاسطوانية

التكامل بالأقراص

تكامل بالأقراص.

${\displaystyle x=a$ and ${\displaystyle x=b$ about the x-axis is given by

{\displaystyle V=\pi \int _{a ^{b \vert f^{2 (x)-g^{2 (x)\vert \,dx

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

{\displaystyle V=\pi \int _{a ^{b f^{2 (x)\,dx\qquad (1)

تكامل الطبقات الإسطوانية

Shell integration.

The volume of the solid formed by rotating the area between the curves of ${\displaystyle f(x)$ and ${\displaystyle g(x)$ and the lines ${\displaystyle x=a$ and ${\displaystyle x=b$ about the y-axis is given by

{\displaystyle V=2\pi \int _{a ^{b x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx

If g(x) = 0 (e.g. revolving an area between curve and x-axis), this reduces to:

{\displaystyle V=2\pi \int _{a ^{b x\vert f(x)\vert \,dx

عرض مجسمات دورانية

الأشكال جاسئة

الأشكال متحركة، توضح المجسمات الدورانية المشكـَّلة من كلٍ منهم.

الصيغة الپارامترية

الرياضيات والفن: دراسة مزهرية كمجسم دوراني من پاولواوتشلو. القرن 15

When a curve is defined by its parametric form $(x (t), y (t))$ in some interval $[a, b]$ , the volumes of the solids generated by revolving the curve around the $x$ -axis or the $y$ -axis are given by

{\displaystyle V_{x =\int _{a ^{b \pi y^{2 \,{\frac {dx {dt \,dt\,,

{\displaystyle V_{y =\int _{a ^{b \pi x^{2 \,{\frac {dy {dt \,dt\,.

Under the same circumstances the areas of the surfaces of the solids generated by revolving the curve around the $x$ -axis or the $y$ -axis are given by

{\displaystyle A_{x =\int _{a ^{b 2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx {dt \right)^{2 +\left({\frac {dy {dt \right)^{2 \,dt\,,

{\displaystyle A_{y =\int _{a ^{b 2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx {dt \right)^{2 +\left({\frac {dy {dt \right)^{2 \,dt\,.

بعض أنواع المجسمات الدورانية

الأجسام الدورانية متنوعة بتنوع منحنيات الدوال , ولكن هناك أجسام مشهورة منها :

اسم الجسم	ينشأ عن دوران	معادلة المنطقة المستوية	معادلة حساب الحجم
اسطوانة	مستطيل	${\displaystyle f(x)=r\,$	${\displaystyle V=\pi \int _{0 ^{h f(x)^{2 dx$
مخروط	مثلث قائم الزاوية	${\displaystyle f(x)={\frac {r {h x\,$	${\displaystyle V=\pi \int _{0 ^{h f(x)^{2 dx$
كرة	نصف دائرة	${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2 -(x-r)^{2 \,$	${\displaystyle V=\pi \int _{0 ^{2r f(x)^{2 dx$
مخروط ناقص	شبه منحرف	${\displaystyle f(x)={\frac {r {h \times (x+H)\,$ حيث H ازدياد الجزء الناقص	${\displaystyle V=\pi \int _{0 ^{h f(x)^{2 dx$

الشكل التالي ناتج عن دوير المنطقة المستوية المحصورة بين f وg

وبعض الأجسام قد تنتج من خلال المنطقة المحصورة بين داليتين ليست صفرية(انظر الشكل اللقاء)

انظر أيضا

Gabriel's Horn
Guldinus theorem
Pseudosphere
Surface of revolution

هوامش

^ مجسم دوراني، ويكيبيديا
^ Sharma, A. K. (2005). . Discovery Publishing House. p. 168. ISBN .
^ Singh, Ravish R. (1993). (6th ed.). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN .

المصادر

CliffsNotes.com. Volumes of Solids of Revolution. 12 Apr 2011 <http://www.cliffsnotes.com/study_guide/topicArticleId-39909,articleId-39907.html>.
Frank Ayres, Elliott Mendelson:Schaum's outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 9780071508612. pp. 244-248 (online copy, p. 244, at Google Books)
Eric W. Weisstein, Solid of Revolution at MathWorld.