بازدياد درجة عديدة حدود تيلور، فإنها تقترب من الدالة السليمة. هذا الرسم يُظهر ${\displaystyle \sin x$ (بالأسود) وتقريب تيلور، وعديدات الحدود بدرجات 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.

متسلسلة تيلور أومجموع تايلور Taylor series هوتعبير عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للإشتقاق n مرة في النقطة ${\displaystyle {x _{0 \!$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:
${\displaystyle f(x)=T_{n (x)+R_{n (x)\!$
حيث ${\displaystyle T_{n (x)\!$ تساوي:
${\displaystyle T_{n (x)=\sum _{k=0 ^{n {\frac {f^{k (x_{0 ) {k! (x-x_{0 )^{k$
ويمكن إعتبار متعدد الحدود (polynom) ${\displaystyle T_n(x)}$${\displaystyle x_{0$

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضنا n بلانهاية فإننا نحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي حتى الجزء ${\displaystyle R_{n (x)\!$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في جميع النقاط x

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق متعدد حدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم الكثير من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة حتى جميع التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم حتى نأخذ بعين الإعتبار الدقة التي نريد حتى نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين حتى نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أومترين في مسقط الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي ، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة .

المثال الأكثر بساطة هوالدالة الأسية قرب النقطة صفر :

${\displaystyle {\textrm {e ^{x \approx 1+x+{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{3 {3! +\cdots +{\frac {x^{N {N! .$

متسلسلة تيلور متعددة المتغيرات

The Taylor series may also be generalized to functions of more than one variable with

${\displaystyle T(x_{1 ,\dots ,x_{d )=$

${\displaystyle =\sum _{n_{1 =0 ^{\infty \cdots \sum _{n_{d =0 ^{\infty {\frac {(x_{1 -a_{1 )^{n_{1 \cdots (x_{d -a_{d )^{n_{d {n_{1 !\cdots n_{d ! \,\left({\frac {\partial ^{n_{1 +\cdots +n_{d f {\partial x_{1 ^{n_{1 \cdots \partial x_{d ^{n_{d \right)(a_{1 ,\dots ,a_{d ).\!$

مثال

Second-order Taylor series approximation (in gray) of a function ${\displaystyle f(x,y)=e^{x \log {(1+y)$ around origin.

Compute a second-order Taylor series expansion around point ${\displaystyle (a,b)=(0,0)$ of a function

${\displaystyle f(x,y)=e^{x \log(1+y).\,$

Firstly, we compute all partial derivatives we need

${\displaystyle f_{x (a,b)=e^{x \log(1+y){\bigg | _{(x,y)=(0,0) =0\,,$

${\displaystyle f_{y (a,b)={\frac {e^{x {1+y {\bigg | _{(x,y)=(0,0) =1\,,$

${\displaystyle f_{xx (a,b)=e^{x \log(1+y){\bigg | _{(x,y)=(0,0) =0\,,$

${\displaystyle f_{yy (a,b)=-{\frac {e^{x {(1+y)^{2 {\bigg | _{(x,y)=(0,0) =-1\,,$

${\displaystyle f_{xy (a,b)=f_{yx (a,b)={\frac {e^{x {1+y {\bigg | _{(x,y)=(0,0) =1.$

The Taylor series is

${\displaystyle {\begin{aligned T(x,y)=f(a,b)&+(x-a)\,f_{x (a,b)+(y-b)\,f_{y (a,b)\\&+{\frac {1 {2! \left[(x-a)^{2 \,f_{xx (a,b)+2(x-a)(y-b)\,f_{xy (a,b)+(y-b)^{2 \,f_{yy (a,b)\right]+\cdots \,,\end{aligned$

which in this case becomes

${\displaystyle {\begin{aligned T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1 {2 {\Big [ 0(x-0)^{2 +2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2 {\Big ] +\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2 {2 +\cdots .\end{aligned$

Since log(1 + y) is analytic in |y| < 1, we have

${\displaystyle e^{x \log(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2 {2 +\cdots$

for |y| < 1.

قائمة متسلسلات مكلورين لبعض الدوال الشائعة

انظر أيضاً قائمة المتسلسلات الرياضية

Several important Maclaurin series expansions follow. All these expansions are valid for complex arguments x.

دالة أسية:

${\displaystyle \mathrm {e ^{x =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{n {n! =1+x+{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{3 {3! +\cdots {\text{ for all x\!$

لوغاريتم طبيعي:

${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {x^{n {n {\text{ for -1\leq x<1$

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1 ^{\infty (-1)^{n+1 {\frac {x^{n {n {\text{ for -1<x\leq 1$

متسلسلة هندسية محدودة:

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1 {1-x =\sum _{n=0 ^{m x^{n \quad {\mbox{ for x\not =1{\text{ and m\in \mathbb {N _{0 \!$

متسلسلة هندسية غير محدودة:

${\displaystyle {\frac {1 {1-x =\sum _{n=0 ^{\infty x^{n {\text{ for |x|<1\!$

Variants of the infinite geometric series:

${\displaystyle {\frac {x^{m {1-x =\sum _{n=m ^{\infty x^{n \quad {\mbox{ for |x|<1{\text{ and m\in \mathbb {N _{0 \!$

${\displaystyle {\frac {x {(1-x)^{2 =\sum _{n=1 ^{\infty nx^{n \quad {\text{ for |x|<1\!$

${\displaystyle {\frac {1 {(1-x)^{2 =\sum _{n=1 ^{\infty nx^{n-1 \quad {\text{ for |x|<1\!$

الجذر التربيعي:

${\displaystyle {\sqrt {1+x =\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n (2n)! {(1-2n)(n!)^{2 (4^{n ) x^{n =1+\textstyle {\frac {1 {2 x-{\frac {1 {8 x^{2 +{\frac {1 {16 x^{3 -{\frac {5 {128 x^{4 +\dots {\text{ for -1<x\leq 1$

Binomial series (includes the square root for α = 1/2 and the infinite geometric series for α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha =\sum _{n=0 ^{\infty {\alpha \choose n x^{n \quad {\mbox{ for all |x|<1{\text{ and all complex \alpha \!$

with generalized binomial coefficients

${\displaystyle {\alpha \choose n =\prod _{k=1 ^{n {\frac {\alpha -k+1 {k ={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1) {n!$

Trigonometric functions:

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n+1)! x^{2n+1 =x-{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{5 {5! -\cdots {\text{ for all x\!$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {(2n)! x^{2n =1-{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{4 {4! -\cdots {\text{ for all x\!$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {B_{2n (-4)^{n (1-4^{n ) {(2n)! x^{2n-1 =x+{\frac {x^{3 {3 +{\frac {2x^{5 {15 +\cdots {\text{ for |x|<{\frac {\pi {2 \!$

حيث B_s هي أرقام برنولي.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n E_{2n {(2n)! x^{2n {\text{ for |x|<{\frac {\pi {2 \!$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(2n)! {4^{n (n!)^{2 (2n+1) x^{2n+1 {\text{ for |x|\leq 1\!$

${\displaystyle \arccos x={\pi \over 2 -\arcsin x={\pi \over 2 -\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(2n)! {4^{n (n!)^{2 (2n+1) x^{2n+1 {\text{ for |x|\leq 1\!$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n {2n+1 x^{2n+1 {\text{ for |x|\leq 1\!$

Hyperbolic functions:

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{2n+1 {(2n+1)! =x+{\frac {x^{3 {3! +{\frac {x^{5 {5! +\cdots {\text{ for all x\!$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{2n {(2n)! =1+{\frac {x^{2 {2! +{\frac {x^{4 {4! +\cdots {\text{ for all x\!$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {B_{2n 4^{n (4^{n -1) {(2n)! x^{2n-1 =x-{\frac {1 {3 x^{3 +{\frac {2 {15 x^{5 -{\frac {17 {315 x^{7 +\cdots {\text{ for |x|<{\frac {\pi {2 \!$

${\displaystyle \mathrm {arsinh (x)=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {(-1)^{n (2n)! {4^{n (n!)^{2 (2n+1) x^{2n+1 {\text{ for |x|\leq 1\!$

${\displaystyle \mathrm {artanh (x)=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {x^{2n+1 {2n+1 {\text{ for |x|<1\!$

Lambert's W function:

${\displaystyle W_{0 (x)=\sum _{n=1 ^{\infty {\frac {(-n)^{n-1 {n! x^{n {\text{ for |x|<{\frac {1 {\mathrm {e \!$

The numbers B_k appearing in the summation expansions of tan(x) and tanh(x) are the Bernoulli numbers. The E_k in the expansion of sec(x) are Euler numbers.

انظر أيضاً

• مبرهنة تيلور
• Linear approximation
• Laurent series
• Analyticity of holomorphic functions — a proof that a holomorphic function can be expressed as a Taylor power series
• Newton's divided difference interpolation
• Difference engine
• Mean value theorem
• Madhava series

الهامش

المصادر

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing 
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-321431-1 

وصلات خارجية

• Eric W. Weisstein, Taylor Series at MathWorld.
• Madhava of Sangamagramma
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method"
• Another Taylor visualisation - where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series