زمرة (رياضيات)

مفهوم رياضي
المسمى العربي	زمرة أومجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معهد
الرمز اللاتيني	'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'
رياضيون	إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
خط ومراجع

الأشكال التي يأخذها مكعب روبيك تكون زمرة.

في الرياضيات، الزمرة بالإنجليزية: Group هي بنية جبرية تصف وتُجسد مفهوم التناظر^{[بحاجة لمصدر]}، تتكون من مجموعة من العناصر مزودة بعملية ثنائية تُخرج ناتجًا تتحقق فيه أربعة شروط تسمى البدبهيات وهي الانغلاق والتجميعية ووجود العنصر المحايد ووجود العنصر المعاكس، ما يجعلها تطبيقًا للبديهيات في الجبر المجرد. يُمكن مبدأ الزمر القائم على تصنيف العناصر وعملياتها الثنائية على أساس طبيعتها، بالتعامل بمرونة مع الكيانات ذات الأصول الرياضية المتنوعة في الجبر المجرد وغيره مع الحفاظ على جوانبها البنيوية الأساسية. إذا الاستخدام الواسع للزمر في مجالات عديدة داخل الرياضيات وخارجها جعلها مبدأً تنظيميًّا محوريًّا في الرياضيات المعاصرة. تمثل مجموعة الأعداد السليمة زمرة تحت عملية الجمع وتعد مثالًا للزمر، ومن الأمثلة الأخرى على الزمر الأعداد الكسرية غير المساوية للصفر تحت عملية الضرب، والتناظر في الشكل الهندسي المنتظم، وزمرة المصفوفات التي لا تساوي محدداتها الصفر والتماثلات الذاتية للبنى الجبرية المتنوعة. تُدْرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر.

ترتبط الزمر ارتباطًا أساسيًّا بفكرة التناظر، فزمرة التماثل على سبيل المثال، ترمز إلى خصائص تناظر كائنٍ هندسيٍّ: تتكون تلك الزمرة من مجموعة من التحاويل التي تهجر الكائن دون تغيير، وعملية هذه الزمرة هي الجمع بين اثنين من هذه التحاويل حيث تجمع الواحدة تلوالأخرى، وتصنَّف زمر لي المستخدمة في نظرية النموذج العياري في فيزياء الجسيمات زمرَ تماثل، وكذلك تساعد الزمرة النقطية في فهم التناظر في الكيمياء الجزيئية، وتعبر زمر بوانكاريه عن التناظر الفيزيائي الكامن وراء النسبية الخاصة.

نشأت نظرية الزمر على يد إيفاريست غالوا في ثلاثينيات القرن التاسع عشر، وهي تهتم أساسًا بمشكلة إيجاد متى تكون معادلة جبرية كثيرة الحدود قابلة للحلحلة أي لها حلول أوجذور. بعد ذلك أخذ مفهوم الزمر يُستخدم في المجالات الأخرى مثل نظرية الأعداد والهندسة، ليعمَّم مفهوم الزمرة ويرسخ في حوالي عام 1870. أصبحت نظرية الزمر فرعًا في الرياضيات يفهم الزمر في حد ذاتها.^1[›] قسم الرياضياتيون نظرية الزمر إلى عدة أقسام لتسهيل فهم الزمر واستكشافها، مثل الزمر الجزئية وزمر خارج القسمة والزمر البسيطة. لا يهتم المختصون بنظرية الزمر بدراسة خصائص الزمر التجريدية فقط، بل إذا جانبًا من نظرية الزمر يهتم بدراسة الطرق التي تعبر عنها تعبيرًا ملموسًا أوما يُعهد بتمثيلات الزمر، والتي لها أهميتها في الكثير من المجالات، ففي فيزياء الجسيمات تستخدم في نظريات كالحقل الكمومي والأوتار، وفي المعلوماتية توجد زمر للتشفير والترميز ومعالجة الصور، وفي فهم البلورات تستخدم في توضيح التناظر في الشبكات البلورية. وُضعت نظرية للزمر المنتهية وتُوجت بوضع تصنيف الزمر المنتهية البسيطة الذي أُعلن عنه عام 1983.^2[›] أصبحت نظرية الزمر الهندسية، التي تهتم بدراسة الزمر منتهية التوليد مثل الكائنات الهندسية، قسمًا نشطًا في نظرية الزمر في منتصف ثمانينيات القرن العشرين.

تعريف وتوضيح

المثال الأول: الأعداد السليمة

من أشهر الأمثلة على الزمر مجموعة الأعداد السليمة Z، وهي تتكون من الأعداد التالية:

..., 4, 3, 2, 1, 0, 1-, 2-, 3-, 4- , ... إلى جانب عملية الجمع.

الخصائص التالية لعملية جمع الأعداد السليمة هي نموذج للبديهيات التجريدية للزمر.

مجموع عددين سليمين هوعدد سليم. ولا يمكن نهائيا حتىقد يكون مجموع عددين سليمين عددًا غير سليم. تعهد هاته الخاصية باسم الانغلاق بالنسبة للجمع.
بالنسبة لثلاثة أعداد a وb وc، فإن (a + b) + c = a + (b + c). أي أنه إذا جُمعت a وb أولًا، ثم أُضيفت c، فسيُحصل على نفس النتيجة إذا ما جمعت a مع حاصل مجموع b وc. تعهد هاته الخاصية باسم التجميعية.
إذا كان a عددًا سليمًا، فإن a + 0 = 0 + a = a. الصفر يسمى عنصرا محايدا.
لكل عدد سليم a، يوجد عدد سليم b حيث a + b = b + a = 0. العدد السليم b يسمى العنصر المعاكس للعدد a ويُخط a-.

وتشكل زمرة الأعداد السليمة تحت عملية الجمع كائنًا رياضيًّا ينتمي إلى تصنيف واسع من الكائنات الأخرى تشاركه خصائصه البنيوية. وقد طُور التعريف التجريدي التالي لفهم هذه البنى فهمًا شاملًا.

تعريف

بديهيات الزمر قصيرة وطبيعية... ومع ذلك وبطريقة ما يوجد وراء هذه البديهيات ما يُعهد بزمرة الوحش البسيطة، وهوكائن رياضياتي ضخم وغريب من الواضح حتى وجودها يعتمد على الكثير من المصادفات الغريبة. لا تعطي بديهيات الزمر أي إشارة واضحة لوجود مثل هذه الأمور.

ريتشارد بورشردس (2009, مذكور في كتاب Group theoryلجيمس ميلن، [1])

الزمرة هي مجموعة '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بالرمز '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' وتسمى قانون الزمرة لـ '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' أوعملية الزمرة، تربط جميع عنصرين اثنين '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' من عناصرها بعنصر ثالث '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' ينتمي إلى نفس الزمرة. توجد عدة طرق للتعبير عن عملية الزمرة كتابةً، منها '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"' أو'"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"'، وفي الزمر الأبيلية غالبًا ما تُخط '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'، وتُستخدم طرق أخرى للتعبير عن عمليات الزمر مثل '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"' أو'"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"'. وكل من المجموعة والعملية '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' يحققان البديهيات التالية:

الانغلاق

لكل عنصرين '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"' من عناصر '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'قد يكون ناتج العملية '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"' منتميًا أيضًا إلى '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'.^3[›]

التجميعية

لكل ثلاثة عناصر '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"' من '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"'قد يكون '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'، أي حتى ناتج هجريب العناصر الثلاثة لا يتأثر بتغير موضع الأقواس،^4[›] مما يسمح بكتابة الناتج في صورة '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' بدون أقواس.

وجود العنصر المحايد

يوجد عنصر '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' يحقق المعادلة '"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"' لكل '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'، ويسمى هذا العنصر العنصر المحايد. وهوعنصر وحيد؛ فلا يوجد أكثر من عنصر محايد واحد في الزمرة.^5[›]

وجود العنصر المعاكس

لكل عنصر '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' من عناصر '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"' يوجد عنصر '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"' من '"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"' بحيث '"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"' حيث '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"' هوالعنصر المحايد، أي حتى هجريب هذين العنصرين بأي ترتيب يساوي العنصر المحايد '"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"'. يُسمي العنصر '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"' العنصر المعاكس للعنصر '"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"' ورمزه '"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"'. ومن الواضح حتى العنصر المحايد واحد فقط في الزمرة، وأن العنصر المعاكس للعنصر '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"' محدد بوضوح.

هذا وقد يتغير ناتج العملية بتغير ترتيب أطرافها، وبعبارة أخرى فإن ناتج دمج العنصر '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"' مع العنصر '"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"' ليس بالضرورة مساويًا لناتج دمج العنصر '"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"' مع العنصر '"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"'، فهذه المعادلة:

'"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"'

قد لا تكون سليمة دائمًا. تتحقق هذه المعادلة دائمًا في زمرة الأعداد السليمة بالنسبة لعملية الجمع؛ وهذا لأن '"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"' لأي عددين سليمين (إبدالية الجمع). ويطلق على الزمر التي تحقق دومًا المعادلة '"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"' الزمر الأبيلية (تخليدًا لنيلس أبيل). وتعد زمرة التماثل (التالي شرحها) مثالًا للزمر غير الأبيلية.

كثيرًا ما يُخط العنصر المحايد '"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"' أو'"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"'، وهذا الرمز مأخوذ من المحايد الضربي. كما قد يُخط العنصر المحايد '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' خاصة إذا رُمز لعملية الزمرة بـ'"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'، وتسمى الزمرة في هذه الحالة زمرة جمعية. وقد يُخط العنصر المحايد أيضًا '"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'.

المثال الثاني: زمرة التماثل

يتطابق الشكلان في في نفس المستوى إذا أمكن حتى يحوَّل أحدهما إلى الآخر باستخدام مزيج من الدورانات والانعكاسات والانزلاقات. يتطابق جميع شكل بديهيًّا مع نفسه. ومع ذلك فإن بعض الأشكال تتطابق مع نفسها بعدة طرق. تسمى هذه التطابقات الإضافية التماثلات. للمربع ثمانية تماثلات، كما توضح تلك الصور:

id(بهجر جميع عنصر على حاله)	r₁ (بالدوران 90° يمينًا)	r₂ (بالدوران 180° يمينًا)	r₃ (بالدوران 270° يمينًا)
f_v (بالانعكاس عموديًّا)	f_h (بالانعكاس أفقيًّا)	f_d (بالانعكاس القطري)	f_c (بالانعكاس القطري المعاكس)
عناصر زمرة التماثل للمربع (D₄). لُونت ورُقمت رؤوس المربع فقط من أجل توضيح العملية.

العملية المحايدة تحفظ الشكل من التغيير كما في الشكل id.
دوران المربع حول مركزه بزوايا 90° يمينًا و180° يمينًا و270° يمينًا ينتج عنه الأشكال r₁ وr₂ وr₃ على الترتيب.
الانعكاس عبر المحورين العمودي والأفقي يعطي الشكلين f_h وf_v، والانعكاس عبر القطرين يعطي f_dوf_c.

تنتج هذه التماثلات عن مجموعة من الدوال، يقوم جميع منها بإرسال نقطة في المربع إلى النقطة المناظرة لها في إطار التماثل. على سبيل المثال، في الشكل r₁ ترسل الدالة جميع نقطة إلى صورتها بالدوران 90° يمينًا حول مركز المربع، أما في الشكل f_h فترسل جميع نقطة إلى انعكاسها عبر محور المربع العمودي، وهجريب اثنتين من دوال التماثل الموجودة في الأشكال أعلاه يعطي دالة تماثل أخرى. تشكل هذه التماثلات زمرة تسمى الزمرة الزوجية وهي من الدرجة أربعة ورمزها D₄، ومجموعة تلك الزمرة هي تلك المجموعة من دوال التماثل، وعمليتها هي هجريب الدوال. يمكن هجريب اثنين من التماثلات من خلال هجريب دالتيهما، بمعنى تطبيق الدالة الأولي على المربع، ومن ثم تطبيق الدالة الثانية على نتيجة الدالة الأولى. تُخط نتيجة تطبيق الدالة الأولى a ثم الدالة الثانية b رمزيًّا من اليمين إلى اليسار كالتالي:

'"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' (الترميز من اليمين إلى اليسار هونفسه المتبع عند هجريب الدوال).

يعدد جدول الزمرة على اليسار نتائج جميع هذه التراكيب الممكنة. على سبيل المثال، بالدوران بزاوية 270° يمينًا (r₃) ثم قلب الناتج أفقيًّا (f_h) نحصل على نفس الناتج الذي نحصل عليه بالانعكاس القطري (f_d). بالاستعانة بالجدول نستنتج أن:

'"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"'

جدول زمرة D₄
•	id	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
id	id	r₁	r₂	r₃	f_v	f_h	f_d	f_c
r₁	r₁	r₂	r₃	id	f_c	f_d	f_v	f_h
r₂	r₂	r₃	id	r₁	f_h	f_v	f_c	f_d
r₃	r₃	id	r₁	r₂	f_d	f_c	f_h	f_v
f_v	f_v	f_d	f_h	f_c	id	r₂	r₁	r₃
f_h	f_h	f_c	f_v	f_d	r₂	id	r₃	r₁
f_d	f_d	f_h	f_c	f_v	r₃	r₁	id	r₂
f_c	f_c	f_v	f_d	f_h	r₁	r₃	r₂	id
تشكل العناصر id وr₁ وr₂ وr₃زمرة جزئية، تلك المحددة باللون الأحمر في أعلى اليسار. المجموعتان المشاركتان اليمنى واليسرى لتلك الزمرة الجزئية محددتان باللونين الأخضر (في الصف الأخير) والأصفر (في العمود الأخير) بالترتيب.

يمكن تطبيق بديهيات الزمر على الزمرة D₄ الفهم عناصرها وعمليتها في الجدول وحيث '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' كالتالي:

تحقيق بديهية الانغلاق يحتاج حتى يكُون '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' أي حتىقد يكون تماثلًا أيضًا. هذا مثال أخر على عملية الزمرة اعتمادًا على الجدول في اليسار:
'"`UNIQ--postMath-00000037-QINU`"'
أي حتى الدوران بزاوية 270° يمينًا بعد الانعكاس أفقيًّا يساوي الانعكاس القطري العكسي. والمغزى حتى أي هجريب لتماثلينقد يكون تماثلًا آخر من نفس الدرجة، يُمكن التأكد من ذلك بالاستعانة بالجدول في اليسار.
تتعامل التجميعية مع العمليات التي يركَّب فيها أكثر من تماثلين. توجد طريقتان نستطيع بها استخدام العناصر a وb وc على الترتيب لتكوين تماثل لمربع: الأولى هي حتى يركَّب العنصران a وb في تماثل واحد أولًا، ثم حتى يركَّب هذا التماثل مع c. والطريقة الأخرى هي حتى يركَّب أولًا b وc، ثم حتى يركَّب التماثل الناتج مع a. في حالة التجميعيةقد يكون:
'"`UNIQ--postMath-00000038-QINU`"'
وهذا يعني حتى ناتجي هاتين الطريقتين متساويان، أي يمكن تبسيط ناتج هجريب الكثير من العناصر في الزمرة بجعلها في شكل تجميعات. فمثلًا '"`UNIQ--postMath-00000039-QINU`"'، ويمكن التأكد من هذا باستخدام الجدول في اليسار، فيلاحَظ أن

'"`UNIQ--postMath-0000003A-QINU`"'، وهذا يساوي

'"`UNIQ--postMath-0000003B-QINU`"'.

ومع حتى شرط التجميعية سليم في حالتي هجريب تماثلات المربع وجمع الأعداد، فهوليس سليمًا لكل العمليات؛ فطرح الأعداد مثلُا ليس عملية تجميعية، فمثلًا (7 − 3) − 2 = 2، وهذا لا يساويسبعة − (3 − 2) = 6.
العنصر المحايد في الزمرة المعطاة أعلاه هوالتماثل id لهجره نقاط الشكل دون تغيير: تأدية id بعد a (أوa بعد id) يساوي التماثل a، وبتعبير رمزي:
'"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"'.
بالنسبة للزمرة المعطاة يقوم العنصر المعاكس بإبطال تحويلات بعض العناصر الأخرى. جميع تماثل في الزمرة المعطاة يمكن إبطاله؛ فكل من التماثل المحايد id والانعكاسات f_h وf_v وf_d وf_c والدوران بزاوية 180° (r2)—كل منهم معكوس لذاته، لأن تأدية أحدهم مرتين يُعيد المربع إلى أصله قبل تأديته. بالإضافة إلى حتى كلا الدورانين r₃ وr₁ معكوس للآخر، لأن الدوران 90° ثم إتباعه بدوران 270° (أوالعكس بالعكس) يعطي دورانًا بزاوية 360°وينتهي بعدم حدوث تغير في المربع. وبالتعبير الرمزي:
'"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"'.

وعلى عكس زمرة الأعداد السليمة التي ذُكر عنها في الأعلى حتى ترتيب العملية لا يؤثر في الناتج، نجد الناتج يختلف في حالة الزمرة D₄، فمثلًا: '"`UNIQ--postMath-0000003E-QINU`"' لكن '"`UNIQ--postMath-0000003F-QINU`"'. ولذلك فإن الزمرة D₄ غير أبيلية.

التاريخ

تطور المفهوم العصري للزمرة المجردة انطلاقًا من مجموعة من مجالات الرياضيات؛ فقد كان أول حافز نحونظرية الزمر هومحاولة حلحلة المعادلات الحدودية من الدرجة الخامسة فما فوق. طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا في القرن التاسع عشر أعمال جميع من باولوروفيني وجوزيف لاغرانج، ليعطي معيارًا لقابلية حلحلة معادلة حدودية ما، بالنظر إلى زمرة التماثل المكونة من جذور هاته الحدودية. تتطابق عناصر هاته الزمرة والمسماة زمرة غالوا، مع تباديل ما للجذور. رفض معاصروغالوا أفكاره في بادئ الأمر، ولم تنشر إلا بعد وفاته. تفهم أوغستين لوي كوشي لاحقًا زمر التبديلات الأكثر تعميمًا بشكل تخصصي. عرَّف أرثور كايلي الزمر المنتهية تجريديًّا لأول مرة في كتابه حول نظرية الزمر، اعتمادًا على المعادلة الرمزية θⁿ = 1 (المنشور عام 1854).

كانت الهندسة الرياضية ثاني مجال يستعمل الزمر بشكل منهجي، وقد ظهر ذلك بشكل خاص في استعمال زمر التماثل جزءً من برنامج إرلنغن الذي نشره فيليكس كلاين عام 1872. مع ظهور الفروع الهندسية الحديثة كالهندسة الزائدية والهندسة الإسقاطية، استخدم كلاين نظرية الزمر في تنظيم تلك الفروع لتصبح أكثر تماسكًا. طور سوفوس لي جميع هاته الأفكار، مؤسسًا دراسة زمر لي عام 1884.

أما المجال الثالث الذي كان وراء تطور نظرية الزمر فهونظرية الأعداد. استخدم كارل فريدريش غاوس بُنى بعض الزمر الأبيلية ضمنيًّا في عمل حول نظرية الأعداد، والذي يحمل عنوان استفسارات حسابية (عام 1798)، كما استخدمها ليوبلد كرونكر بشكل أكثر وضوحًا. في عام 1847، كان إرنشت كومر من بين الفهماء الأوائل الذين حاولوا حلحلة مبرهنة فيرما الأخيرة، وذلك بتطوير زمر تصف تحليل عدد سليم إلى أعداد أولية.

وضع كامي جوردان أول نظرية موحدة للزمر بالمفاضلة بين تلك المصادر المتعددة في عمله Traité des substitutions et des équations algébriques الصادر عام 1870. منح فالتر فون ديك البيان الأول للتعريف الحديث للزمرة المجردة. مع بداية القرن العشرين، اكتسبت الزمر اهتمامًا كبيرًا من الرياضياتيين، فظهرت أعمال فرديناند جورج فروبنيوس وويليام برنسايد الرائدة في نظرية التمثيل للزمر المنتهية، وكذلك أعمال ريتشارد براور في نظرية التمثيل النمطي، وأوراق إيساي شور. تفهم هيرمان فايل وإيلي كارتن وغيرهما الكثير نظرية زمر لي خاصةً والزمر محلية التراص عامةً. صيغت نظرية الزمر الجبرية لأول مرة على يد كلود شيفالي في أواخر ثلاثينيات القرن العشرين وعلى يد أرمان بورل وجاك تيتس لاحقًا.

نظمت جامعة شيكاغوفي 1960–61 عامًا خاصًّا لنظرية الزمر، وقد استقطب هذا الحدث فهماء نظرية الزمر مثل دانيال غورنشتاين وجون تومسون وفالتر فايت، وبمساهمة الكثير من الرياضياتيين الآخرين صُنفت جميع الزمر المنتهية البسيطة عام 1982. تفوق هذا المشروع على نظائره السابقة بحجمه الضخم من ناحيتي طول البرهان وعدد الباحثين. ولا يزال البحث جاريًا لمحاولة تبسيط برهان التصنيف. ولا تزال نظرية الزمر حتى هذه الأيام فرعًا رياضيًّا نشطًا للغاية ومؤثرًا في عدة مجالات أخرى.^1[›]

النتائج الابتدائية لبديهيات الزمر

عادة ما تندرج الحقائق الأساسية عن الزمر التي يمكن استنتاجها مباشرة من البديهيات تحت ما يُعهد بنظرية الزمر الابتدائية. فمثلًا تُظهر التطبيقات المتكررة لبديهية التجميعية حتى القاعدة:

'"`UNIQ--postMath-00000040-QINU`"'

تعمَّم لكل ما زاد على ثلاثة عوامل. وعادة ما تُحذف الأقواس في هذه الحالة لأنه يجوز وضعها في أي مكان داخل تلك السلسلة.

يمكن غض النظر جزئيًّا عن البديهيات، فنفترض وجود المحايد الأيسر والمعاكس الأيسر؛ إذ يمكن لكليهما حتى يبدوا في الواقع ذوَي جهة، والنتيجة من ذلك ستكافئ التعريف المذكور أعلاه كالتالي.

وحدة العنصر المحايد ووحدة العناصر المعاكسة

إن وحدة العنصر المحايد والعناصر المعاكسة لكل عنصر نتيجتان مهمتان لبديهيات الزمر. ولا يمكن لزمرة ما حتى تحتوي على أكثر من عنصر محايد واحد، وكل عنصر في الزمرة يملك عنصرًا لقاءًا واحدًا بالضبط. وبالتالي فمن الشائع تعريفهما بقول المحايد والمعاكس.

لإثبات وحدة العنصر المعاكس للعنصر '"`UNIQ--postMath-00000041-QINU`"'، فرضا حتى للعنصر '"`UNIQ--postMath-00000042-QINU`"' عنصران معاكسان '"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000044-QINU`"' في الزمرة '"`UNIQ--postMath-00000045-QINU`"'، حيث

'"`UNIQ--postMath-00000046-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-00000047-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-00000048-QINU`"'	حيث '"`UNIQ--postMath-00000049-QINU`"' هوالعنصر المحايد
	'"`UNIQ--postMath-0000004A-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-0000004B-QINU`"'	لأن '"`UNIQ--postMath-0000004C-QINU`"' هوالعنصر المعاكس للعنصر '"`UNIQ--postMath-0000004D-QINU`"'، وبالتالي '"`UNIQ--postMath-0000004E-QINU`"'
	'"`UNIQ--postMath-0000004F-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-00000050-QINU`"'	لأن خاصية التجميعية تقضي بحرية ترتيب الأقواس
	'"`UNIQ--postMath-00000051-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-00000052-QINU`"'	لأن '"`UNIQ--postMath-00000053-QINU`"' هومعاكس '"`UNIQ--postMath-00000054-QINU`"'، أي حتى '"`UNIQ--postMath-00000055-QINU`"'
	'"`UNIQ--postMath-00000056-QINU`"'	'"`UNIQ--postMath-00000057-QINU`"'	حيث '"`UNIQ--postMath-00000058-QINU`"' هوالعنصر المحايد

وبالتالي فإن كلا العنصرين '"`UNIQ--postMath-00000059-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000005A-QINU`"' متساويان. وبعبارة أخرى فإن للعنصر '"`UNIQ--postMath-0000005B-QINU`"' معاكسًا واحدًا فقط. ويمكن إثبات وحدة العنصر المحايد في زمرة ما بنفس الطريقة، فلنفترض حتى '"`UNIQ--postMath-0000005C-QINU`"' زمرة بها عنصران محايدان '"`UNIQ--postMath-0000005D-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000005E-QINU`"'، حيث '"`UNIQ--postMath-0000005F-QINU`"'، وبالتالي فإن '"`UNIQ--postMath-00000060-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000061-QINU`"' متساويان.

القسمة

من الممكن القيام بعملية القسمة في الزمر: ليكن '"`UNIQ--postMath-00000062-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000063-QINU`"' عنصرين من الزمرة '"`UNIQ--postMath-00000064-QINU`"'، إذن هناك حل وحيد '"`UNIQ--postMath-00000065-QINU`"' للمعادلة '"`UNIQ--postMath-00000066-QINU`"'. وبضرب حدي هاته المعادلة في العنصر '"`UNIQ--postMath-00000067-QINU`"' من الجهة اليمنى يعطي الحل '"`UNIQ--postMath-00000068-QINU`"'. ويوجد بالمثل حل وحيد '"`UNIQ--postMath-00000069-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-0000006A-QINU`"' للمعادلة '"`UNIQ--postMath-0000006B-QINU`"'، وهو'"`UNIQ--postMath-0000006C-QINU`"'. وليس من الضروري عامةً لكل من '"`UNIQ--postMath-0000006D-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000006E-QINU`"' حتى يتفقا.

إن نتيجة ذلك هي حتى الضرب في العنصر '"`UNIQ--postMath-0000006F-QINU`"' من زمرة ما دالة تقابلية. وعلى وجه التحديد، إذا كان '"`UNIQ--postMath-00000070-QINU`"' عنصرًا من الزمرة '"`UNIQ--postMath-00000071-QINU`"' فإنه يوجد دالة تقابلية على '"`UNIQ--postMath-00000072-QINU`"' تدعى الانزلاق الأيسر بـ '"`UNIQ--postMath-00000073-QINU`"'، وهويرسل '"`UNIQ--postMath-00000074-QINU`"' إلى '"`UNIQ--postMath-00000075-QINU`"'. وبالمثل يوجد دالة تقابلية على '"`UNIQ--postMath-00000076-QINU`"' تدعى الانزلاق الأيمن بـ '"`UNIQ--postMath-00000077-QINU`"'، وهويرسل '"`UNIQ--postMath-00000078-QINU`"' إلى '"`UNIQ--postMath-00000079-QINU`"'. وإذا كانت '"`UNIQ--postMath-0000007A-QINU`"' أبيلية فإن الانزلاقين الأيمن والأيسر بعنصر من عناصرها هما ذاتهما.

المفاهيم الأساسية

تُستخدم رموز رياضية في هذا القسم مثل '"`UNIQ--postMath-0000007B-QINU`"' للرمز إلى مجموعة X تحتوي العناصر x وy وz، أويُستخدم بدلًا من ذلك '"`UNIQ--postMath-0000007C-QINU`"' لتوضيح حتى '"`UNIQ--postMath-0000007D-QINU`"' عنصر من '"`UNIQ--postMath-0000007E-QINU`"'. ويشير الترميز '"`UNIQ--postMath-0000007F-QINU`"' إلى حتى '"`UNIQ--postMath-00000080-QINU`"' هي دالة تربط بكل عنصر من '"`UNIQ--postMath-00000081-QINU`"' عنصرًا من '"`UNIQ--postMath-00000082-QINU`"'.

لفهم الزمر فهمًا يتجاوز مجرد المعالجات الرمزية كما فُعل أعلاه، يجب استخدام مفاهيم أكثر بنيوية.^6[›] يوجد مبدأ مفهومي تقوم عليه جميع المفاهيم الآتية، وهواستغلال الخصائص البنيوية الفريدة للزمر (والتي ليست في المجموعات)، ويجب للبنى المرتبطة بالزمر التلاؤم مع عمليتها. يتجلى هذا التلاؤم في المفاهيم التالية بطرق مختلفة، فمثلًا يمكن للزمر حتى ترتبط مع بعضها البعض بدوال تُعهد بتشاكلات الزمر، ووفقًا للمبدأ المفهومي المذكور آنفًا، فإنه يتعين على هذه الدوال حتى تُعنى ببنى الزمر بالمعنى الدقيق. ومن الممكن أيضًا فهم الزمر بنيةً من خلال تقسيمها إلى أجزاء تُعهد بالزمر الجزئية وزمر خارج القسمة. إذا مبدأ "الحفاظ على البنى" هوموضوع متكرر في الرياضيات كافة، وهويستدعي بحد ذاته العمل في فئة، وهي في حالة الزمر تُدعى فئة الزمر.

تشاكلات الزمر

تشاكلات الزمر^7[›] هي دوال تحفظ بنية الزمرة. وتُسمى الدالة '"`UNIQ--postMath-00000083-QINU`"' بين الزمرتين '"`UNIQ--postMath-00000084-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000085-QINU`"' تشاكلًا إذا تحققت المعادلة '"`UNIQ--postMath-00000086-QINU`"' لكل عنصرين '"`UNIQ--postMath-00000087-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000088-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-00000089-QINU`"'. وبعبارة أخرى، لا يتغير الناتج عند القيام بعملية الزمرة قبل أوبعد التطبيق '"`UNIQ--postMath-0000008A-QINU`"'. وينتج عن هذا الشرط حتى '"`UNIQ--postMath-0000008B-QINU`"'، وأن '"`UNIQ--postMath-0000008C-QINU`"' لكل '"`UNIQ--postMath-0000008D-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-0000008E-QINU`"'. وبالتالي فإن تشاكل الزمرة يُعنى ببنية '"`UNIQ--postMath-0000008F-QINU`"' كاملةً والتي تتمثل في بديهيات الزمر.

تُوصف الزمرتان '"`UNIQ--postMath-00000090-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000091-QINU`"' بأنهما متساويتا الشكل إذا كان كلا التطبيقين '"`UNIQ--postMath-00000092-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000093-QINU`"' تشاكلًا، أي حتى تطبيق كلتا الدالتين الواحدة تلوالأخرى في كلا الترتيبين الممكنين يُعطي الدالتين المحايدتين في '"`UNIQ--postMath-00000094-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000095-QINU`"'. أي حتى '"`UNIQ--postMath-00000096-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000097-QINU`"' لأي '"`UNIQ--postMath-00000098-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-00000099-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000009A-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-0000009B-QINU`"'.

من وجهة نظر تجريدية، تحمل الزمر المتشابهة شكليًّا نفس المعلومات، فمثلًاقد يكون إثبات حتى '"`UNIQ--postMath-0000009C-QINU`"' لعنصر ما '"`UNIQ--postMath-0000009D-QINU`"' من '"`UNIQ--postMath-0000009E-QINU`"' يُكافئ إثبات حتى '"`UNIQ--postMath-0000009F-QINU`"'؛ لأن تطبيق الدالة '"`UNIQ--postMath-000000A0-QINU`"' على المتساوية الأولى يعطي الثانية، وتطبيق الدالة '"`UNIQ--postMath-000000A1-QINU`"' على الثانية يُعيدها إلى الأولى.

الزمر الجزئية

إن الزمرة الجزئية ببساطة هي زمرة '"`UNIQ--postMath-000000A2-QINU`"' موجودة في زمرة أكبر '"`UNIQ--postMath-000000A3-QINU`"'. ويكون العنصر المحايد للزمرة '"`UNIQ--postMath-000000A4-QINU`"' موجودًا عمليًّا ضمن الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000A5-QINU`"'، وعندماقد يكون '"`UNIQ--postMath-000000A6-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000A7-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-000000A8-QINU`"'،قد يكون '"`UNIQ--postMath-000000A9-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000AA-QINU`"' أيضًا في '"`UNIQ--postMath-000000AB-QINU`"'، وبذلك تشكل عناصر '"`UNIQ--postMath-000000AC-QINU`"' مزودةً بعملية الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000AD-QINU`"' المقصورة على '"`UNIQ--postMath-000000AE-QINU`"' زمرةً جزئية.

في مثال الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000AF-QINU`"' المذكور أعلاه، يشكل المحايد والدورانات زمرة جزئية '"`UNIQ--postMath-000000B0-QINU`"'، وهي مظللة باللون الأحمر في الجدول أعلاه؛ حيث حتى أي دورانين مركبين يشكلان دورانًا أيضًا، وكل دوران يمكن إبطاله بدوران آخر (أي العنصر المعاكس) هوالدوران الذي يشكل مع الدوران الأصلي دورة كاملة: 270° مع 90°، و180° مع 180°، و90° مع 270° (لاحظ حتى الدوران في الاتجاه المعاكس غير معهد). إذا اختبار الزمرة الجزئية شرط ضروري وكاف للمجموعة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000B1-QINU`"' من الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000B2-QINU`"' لتكون زمرة؛ حيث يكفي التأكد من حتى '"`UNIQ--postMath-000000B3-QINU`"' لكل '"`UNIQ--postMath-000000B4-QINU`"'. كما حتى فهم الزمر الجزئية مهم في فهم الزمرة كليةً.^8[›]

بإعطاء أي مجموعة جزئية '"`UNIQ--postMath-000000B5-QINU`"' من زمرة '"`UNIQ--postMath-000000B6-QINU`"'، تتكون الزمرة الجزئية التي تولدها '"`UNIQ--postMath-000000B7-QINU`"' من نواتج إخضاع عناصر '"`UNIQ--postMath-000000B8-QINU`"' لعملية الزمرة مع بعضها البعض، بالإضافة إلى معكوسات تلك النواتج. وهي أصغر زمرة جزئية من '"`UNIQ--postMath-000000B9-QINU`"' تضم '"`UNIQ--postMath-000000BA-QINU`"'. وفي المثال المقدم أعلاه، تتكون الزمرة الجزئية المولدة بـ '"`UNIQ--postMath-000000BB-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000BC-QINU`"' من هذين العنصرين، والعنصر المحايد، والعنصر '"`UNIQ--postMath-000000BD-QINU`"'. ومجددًا هذه زمرة جزئية؛ لأن هجريب أي عنصرين من تلك العناصر الأربعة أومعكوساتها (والتي هي ذات تلك العناصر في هذه الحالة الخاصة) ينتج عنصرًا ينتمي إلى هذه الزمرة الجزئية.

المجموعات المشاركة

من المستحسن في الكثير من الحالات حتى يُعَد عنصران في الزمرة نفسيهما إذا اختلفا بعنصر من زمرة جزئية معطاة. فمثلًا في مثال الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000BE-QINU`"' المعطى أعلاه، بمجرد تأدية انعكاس ما، لا يعود المربع إلى وضع '"`UNIQ--postMath-000000BF-QINU`"' بالقيام بعمليات الدوران، أي حتى عمليات الدوران ليست ذات صلة بسؤال ما إذا كان قد أُجري انعكاس. تستخدم المجموعات المشاركة لتناول هذه الرؤية تناولًا رسميًّا: تحدد المجموعة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000C0-QINU`"' مجموعة مشاركة يمنى وأخرى يسرى، والتي يمكن وصفهما انزلاقين لـ'"`UNIQ--postMath-000000C1-QINU`"' بأي عنصر من عناصرها '"`UNIQ--postMath-000000C2-QINU`"'. ويعبَّر عن المجموعتين المشاركتين اليسرى واليمنى لـ '"`UNIQ--postMath-000000C3-QINU`"' التي تحتوي العنصر '"`UNIQ--postMath-000000C4-QINU`"' كالتالي:

'"`UNIQ--postMath-000000C5-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000C6-QINU`"' بالترتيب.

تشكل المجموعات المشاركة لأي زمرة جزئية '"`UNIQ--postMath-000000C7-QINU`"' تجزئة لـ '"`UNIQ--postMath-000000C8-QINU`"'، بمعنى حتى اتحاد جميع المجموعات المشاركة اليسرى يساوي '"`UNIQ--postMath-000000C9-QINU`"'، وتكون جميع مجموعتين يسريين إما متساويتين أوغير متقاطعتين. تحدث الحالة الأولى '"`UNIQ--postMath-000000CA-QINU`"' إذا وفقط إذا كان '"`UNIQ--postMath-000000CB-QINU`"'، أي إذا اختلف العنصران بعنصر من '"`UNIQ--postMath-000000CC-QINU`"'، وما قيل في المجموعات المشاركة اليسرى ينطبق على المجموعات المشاركة اليمنى لـ '"`UNIQ--postMath-000000CD-QINU`"'. ومن الممكن حتى تتساوى المجموعتان المشاركتان اليسرى واليمنى ومن الممكن حتى لا تتساويا، فإذا تساويتا (أي إذا كان '"`UNIQ--postMath-000000CE-QINU`"' لكل '"`UNIQ--postMath-000000CF-QINU`"')، تسمى '"`UNIQ--postMath-000000D0-QINU`"' حينها زمرة جزئية طبيعية.

في الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000D1-QINU`"' المقدمة مثالًا لزمرة التماثل، المجموعات المشاركة اليسرى '"`UNIQ--postMath-000000D2-QINU`"' للزمرة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000D3-QINU`"' المكونة من الدورانات إما حتى تساوي '"`UNIQ--postMath-000000D4-QINU`"' إذا كان '"`UNIQ--postMath-000000D5-QINU`"' عنصرًا من '"`UNIQ--postMath-000000D6-QINU`"' نفسها، أوحتى تساوي '"`UNIQ--postMath-000000D7-QINU`"' (المظللة باللون الأخضر). كما حتى '"`UNIQ--postMath-000000D8-QINU`"' زمرة جزئية طبيعية، لأن '"`UNIQ--postMath-000000D9-QINU`"' والأمر ينطبق على أي عنصر غير '"`UNIQ--postMath-000000DA-QINU`"'.

زمرة خارج القسمة

في بعض الحالات يمكن منح قانون زمرة لمجموعة المجموعات المشاركة لزمرة جزئية ما، وينتج عن ذلك ما يُعهد بزمرة خارج القسمة. ويجب حتى تكون هذه الزمرة الجزئية طبيعيةً ليكون ذلك بالإمكان. بإعطاء أي زمرة جزئية طبيعية '"`UNIQ--postMath-000000DB-QINU`"'، تحدَّد زمرة خارج القسمة بالتالي

'"`UNIQ--postMath-000000DC-QINU`"'

تأخذ هذه المجموعة عمليتها (وتُدعى عادةً ضرب أوجمع المجموعات المشاركة) من الزمرة الأصلية '"`UNIQ--postMath-000000DD-QINU`"'. '"`UNIQ--postMath-000000DE-QINU`"' لكل '"`UNIQ--postMath-000000DF-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000E0-QINU`"' في '"`UNIQ--postMath-000000E1-QINU`"'. يُدعم هذا التعريف بفكرة تمثل النظرات البنيوية العامة المحدَّدة سابقًا، وهي حتى التطبيق '"`UNIQ--postMath-000000E2-QINU`"' الذي يربط إلى جميع عنصر '"`UNIQ--postMath-000000E3-QINU`"' مجموعته المشاركة '"`UNIQ--postMath-000000E4-QINU`"'قد يكون تشاكلًا، أوبالتعبير المجرد العام يسمى الخصائص الكاملة. والمحايد في هذه الزمرة يتمثل في المجموعة المشاركة '"`UNIQ--postMath-000000E5-QINU`"'، ومعاكس '"`UNIQ--postMath-000000E6-QINU`"' في زمرة خارج القسمة هو'"`UNIQ--postMath-000000E7-QINU`"'.^9[›]

•	R	U
R	R	U
U	U	R
جدول الزمرة لزمرة خارج القسمة '"`UNIQ--postMath-000000E8-QINU`"'.

عناصر زمرة خارج القسمة '"`UNIQ--postMath-000000E9-QINU`"' هي '"`UNIQ--postMath-000000EA-QINU`"' نفسها والتي تمثل المحايد، ومعها '"`UNIQ--postMath-000000EB-QINU`"'. يعرض الجدول على اليسار عملية زمرة خارج القسمة. فمثلًا '"`UNIQ--postMath-000000EC-QINU`"'. إذا كلًّا من الزمرة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000ED-QINU`"' بالإضافة إلى خارج القسمة اللقاء أبيليان، وهذا رغم حتى '"`UNIQ--postMath-000000EE-QINU`"' ليست أبيلية. إذا بناء زمر أكبر من أخرى أصغر كبناء الزمرة '"`UNIQ--postMath-000000EF-QINU`"' من الزمرة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000F0-QINU`"' وخارج القسمة '"`UNIQ--postMath-000000F1-QINU`"' يجرَّد بمفهوم يسمى الجداء شبه المباشر.

تشكل زمر خارج القسمة والزمر الجزئية معًا طريقةً لوصف أي زمرة من خلال تباديلها: أي زمرة هي خارج قسمة للزمرة الحرة على مولدات الزمرة، وهي خارج قسمة زمرة العلاقات الجزئية. فمثلًا يمكن توليد الزمرة الزوجية '"`UNIQ--postMath-000000F2-QINU`"' بعنصرين '"`UNIQ--postMath-000000F3-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-000000F4-QINU`"' (وعلى سبيل المثال: '"`UNIQ--postMath-000000F5-QINU`"' أي الدوران بزاوية قائمة، و'"`UNIQ--postMath-000000F6-QINU`"' أي الانعكاس العمودي (أوأي انعكاس آخر))، ما يعني حتى جميع تماثل للمربع هوهجريب منتهٍ من هذين التماثلين أومعكوسهما. وإلى جانب هذه العلاقات

'"`UNIQ--postMath-000000F7-QINU`"'،

تُوصف الزمرة وصفًا كاملًا. ويمكن استعمال توصيف الزمرة أيضًا في إنشاء مبيان كيلي، وهووسيلة تستخدم لتمثيل الزمر المتبترة.

ترتبط زمر خارج القسمة والزمر الجزئية على النحوالتالي: يمكن النظر إلى المجموعة الجزئية '"`UNIQ--postMath-000000F8-QINU`"' من '"`UNIQ--postMath-000000F9-QINU`"' على أنها تطبيق تبايني '"`UNIQ--postMath-000000FA-QINU`"'، أي حتى أي عنصر من المجال اللقاء يرتبط بعنصر واحد على الأكثر. كما يوجَد ما يُعهد بالتطبيقات الشمولية، وهوتطبيق ترتبط فيه جميع عناصر المجال اللقاء بعنصر أوأكثر من المجال، مثل التطبيق '"`UNIQ--postMath-000000FB-QINU`"'.^10[›] إذا تفسير الزمر الجزئية وخوارج القسمة في ضوء هذه التشاكلات يؤكد على المفهوم البنيوي الملازم لتلك التعريفات المشار إليها في المقدمة. ليست التشاكلات عمومًا متباينة ولا شمولية. ويعالج هذه الظاهرة جميع من نواة وصورة تشاكلات الزمرة ومبرهنة تساوي الشكل الأولى.

أمثلة وتطبيقات

تكثر الأمثلة على الزمر وتطبيقاتها، وقد كانت زمرة '"`UNIQ--postMath-000000FC-QINU`"' للأعداد السليمة تحت عملية الجمع عمليةً للزمرة أولَ مثال شُرح أعلاه. وإذا أُخذت عملية الضرب عمليةً للزمرة بدل الجمع، تصبح الزمرة زمرةً ضربية. وتعد تلك الزمرتان سلفًا لبنًى مهمة في الجبر المجرد.

تطبَّق الزمر في مجالات عديدة من الرياضيات. كثيرًا ما تُفحص الكائنات الرياضية بتجميع زمر إليها ودراسة خصائص الزمر المناظرة. فمثلًا قام هنري بوانكاريه بتأسيس ما نسميه الآن الطوبولوجيا الجبرية بإدخاله الزمر الأساسية إلى الطوبولوجيا. وقد تُرجمت في هذا السياق عدد من الخصائص الطوبولوجية مثل القرب والاستمرارية إلى خصائص للزمر.^11[›] فمثلًا تمثَّل الزمرة الأساسية بالحلقات. توضح الصورة الثانية على اليسار بعض الحلقات في مستوًى ما ناقص نقطة. تعد الحلقة الزرقاء مثلية التوضع فراغيا (وهي بالتالي ليست موضع اهتمامنا)، وذلك لأنها يمكن حتى تتقلص باستمرار إلى نقطة. إذا وجود الثقب يَحول دون تقلص الحلقة البرتنطقية إلى نقطة. تتحول الزمرة الأساسية لمستوًى ما إلى زمرة دائرية غير منتهية عند محونقطة من هذا المستوى، وتكون مولَّدة بالحلقة البرتنطقية أوأي حلقة أخرى تلف مرة واحدة حول الثقب). وبالتالي تعَد الزمرة الأساسية كاشفًا لوجود الثقب.

في التطبيقات الأكثر حداثة للزمر، كان التأثير موجَّهًا أيضًا نحودعم الإنشاءات الهندسية بخلفية نظرية زمرية.^12[›] وفي اللقاء، توظف نظرية الزمر الهندسية مفاهيمَ هندسية لدراسة الزمر الزائدية مثلًا. وتوجَد فروع أخرى تطبق الزمر تطبيقًا أكثر تأثيرًا، منها الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد.

يوجَد الكثير من التطبيقات العملية للزمر بالإضافة إلى التطبيقات النظرية السابقة. مثلًا يقوم فهم التعمية على مزيج من النهج النظري الزمري المجرَّد والفهمالخوارزمية المستمَدة من نظرية الزمر الحوسبية، خاصة عند تطبيقها لزمر منتهية. ولا تنحصر تطبيقات نظرية الزمر في الرياضيات؛ عملوم مثل الفيزياء وكيمياء وفهم الحاسوب تنتفع من أفكارها.

الأعداد

تتمتع الكثير من النظم العددية كالأعداد السليمة والكسرية ببنية زمرية مرتبطة بطبيعتها. تنبثق عن عمليتي الجمع والضرب بنًى زمرية في بعض الحالات كما في الأعداد الكسرية. وتُعد مثل تلك النظم العددية أسلافًا لبنًى جبرية أعم معروفة بالحلقات والحقول. ويشكل المزيد من الفكر الجبرية المجردة زمرًا، ومنها النماذج والفضاءات المتجهية والجِبار.

الأعداد السليمة

لقد وُصفت سابقًا في الموضوعة زمرة الأعداد السليمة '"`UNIQ--postMath-000000FD-QINU`"' تحت عملية الجمع ورمزها '"`UNIQ--postMath-000000FE-QINU`"'. ورغم ذلك لا تشكل الأعداد السليمة زمرة تحت الضرب بدل الجمع '"`UNIQ--postMath-000000FF-QINU`"'؛ إذ أنه رغم توافر بديهيات الانغلاق والتجميعية ووجود المحايد، لا تتوافر بديهية وجود المعاكس في هكذا بنية. فمثلًا '"`UNIQ--postMath-00000100-QINU`"' هوعدد سليم، لكن الحل الوحيد للمعادلة '"`UNIQ--postMath-00000101-QINU`"' في تلك الحالة هو'"`UNIQ--postMath-00000102-QINU`"'، وهوكسري وليس سليمًا. وبالتالي ليس جميع عنصر من '"`UNIQ--postMath-00000103-QINU`"' يملك معاكسًا ضربيًّا.^13[›]

الأعداد الكسرية

إن الرغبة في وجود المعاكسات الضربية توحي بفكرة الكسور

'"`UNIQ--postMath-00000104-QINU`"'.

وتُعهد كسور الأعداد السليمة (حيث '"`UNIQ--postMath-00000105-QINU`"') بالأعداد الكسرية.^14[›] ويُرمز للمجموعة التي تحتوي جميع هذه الكسور بالرمز '"`UNIQ--postMath-00000106-QINU`"'. لكن ما زالت هناك عقبة تَحُول دون كون الأعداد الكسرية تحت عملية الضرب '"`UNIQ--postMath-00000107-QINU`"' زمرة، وهي حتى العدد الكسري 0 لا يملك معكوسًا ضربيًّا (أي أنه لا يوجَد '"`UNIQ--postMath-00000108-QINU`"' يحقق المعادلة '"`UNIQ--postMath-00000109-QINU`"')، وبالتالي لا تزال '"`UNIQ--postMath-0000010A-QINU`"' ليست زمرة.

ورغم ذلك، تشكل مجموعة جميع الأعداد الكسرية غير الصفرية '"`UNIQ--postMath-0000010B-QINU`"' زمرة أبيلية تحت الضرب، ورمزها هو'"`UNIQ--postMath-0000010C-QINU`"'.^15[›] تنتُج بديهيتا التجميعية والعنصر المحايد عن خصائص الأعداد السليمة. كما حتى بديهية الانغلاق لم تزل محقَّقة بعد إزالة الصفر، لأن حاصل ضرب أي عددين كسريين غير صفريين لا يساوي أبدًا الصفر. وأخيرًا، العدد الكسري '"`UNIQ--postMath-0000010D-QINU`"' له معكوس هو'"`UNIQ--postMath-0000010E-QINU`"'، وبالتالي تتحقق بديهية الانغلاق في تلك البنية.

تشكل الأعداد الكسرية (متضمنة الصفر) زمرة أيضًا تحت عملية الجمع. وتتضافر عمليتا الجمع والضرب مسفرةً عن بنًى أعقد تُسمى الحلقات، كما تسفر عن ما يُسمى الحقول إذا كانت القسمة ممكنة كما في حالة '"`UNIQ--postMath-0000010F-QINU`"'، ولكلا البنيتين مسقط محوري في الجبر المجرد. ولذلك فإن حجج نظرية الزمر تكمن وراء أجزاء من نظرية كلا الكيانين.^16[›]

الحساب النمطي

تشكل الساعات في الساعة الميكانيكية زمرة تستخدم مقياس جمع قيمته 12. وهناقد يكونتسعة + أربعة = 1.

في الحساب النمطي، يُجمَع عددان سليمان ثم يُقسَم الناتج على عدد سليم موجب يسمى القيمة النمطية (modulus). ويكون ناتج الجمع النمطي هوباقي تلك القسمة. لأي قيمة نمطية '"`UNIQ--postMath-00000110-QINU`"'، تشكل مجموعة الأعداد السليمة من الصفر حتى '"`UNIQ--postMath-00000111-QINU`"' زمرةً تحت الجمع النمطي؛ حيثقد يكون معاكس أي عنصر '"`UNIQ--postMath-00000112-QINU`"' هو'"`UNIQ--postMath-00000113-QINU`"'، والعنصر المحايد هنا هوالصفر. ومن المألوف من جمع الساعات في ساعة بنظام 12 ساعة، أنه إذا كان عقرب الساعات علىتسعة ثم تقدم أربعة ساعات، سيصبح على الساعة 1 كما هومشروح على اليسار. ويعبَّر عن ذلك بقول حتىتسعة + أربعة يساوي 1 مقياس 12 أوبتردد 12، أوبالرموز

'"`UNIQ--postMath-00000114-QINU`"'.

ويُرمَز لزمرة الأعداد السليمة مقياس '"`UNIQ--postMath-00000115-QINU`"' بأحد الرمزين '"`UNIQ--postMath-00000116-QINU`"' أو'"`UNIQ--postMath-00000117-QINU`"'.

توجد أيضًا زمرة ضربية للأعداد السليمة مقياس '"`UNIQ--postMath-00000118-QINU`"' لأي عدد أولي '"`UNIQ--postMath-00000119-QINU`"'. وعناصر تلك الزمرة هي الأعداد السليمة من '"`UNIQ--postMath-0000011A-QINU`"' إلى '"`UNIQ--postMath-0000011B-QINU`"'. وعمليتها هي الضرب مقياس '"`UNIQ--postMath-0000011C-QINU`"'، أي حتى حاصل الضرب العادي يُقسَم على '"`UNIQ--postMath-0000011D-QINU`"'، ويكون باقي تلك القسمة هوناتج الضرب النمطي. فمثلًا إذا كان '"`UNIQ--postMath-0000011E-QINU`"'، سيوجَد في الزمرة أربعة عناصر هي 1، 2، 3، 4. وفي هذه الزمرةقد يكون '"`UNIQ--postMath-0000011F-QINU`"'، لأن حاصل الضرب العادي هو16 وهويكافئ 1، وهوباقي قسمة هذا العدد على 5، فالعددخمسة هوقاسم لـ '"`UNIQ--postMath-00000120-QINU`"'، ويُرمَز لما تجاوز بالآتي

'"`UNIQ--postMath-00000121-QINU`"'.

وتكفل أولية العدد '"`UNIQ--postMath-00000122-QINU`"' أنه إذا ضُرِب عددان سليمان لا يقبلان القسمة على '"`UNIQ--postMath-00000123-QINU`"'، لن يقبل حاصل الضرب القسمة على '"`UNIQ--postMath-00000124-QINU`"' أيضًا، وبالتالي فإن مجموعة الأصناف المُشار إليها مغلَقة تحت الضرب.^17[›] والعنصر المحايد هو1 كما هومعتاد لأي زمرة ضربية، وتنتج التجميعية عن الخاصية المناظرة في الأعداد السليمة. وأخيرًا تتطلب بديهية العنصر المعاكس أنه بإعطاء العدد السليم '"`UNIQ--postMath-00000125-QINU`"' الذي لا يقبل القسمة على '"`UNIQ--postMath-00000126-QINU`"'، يوجد عدد سليم '"`UNIQ--postMath-00000127-QINU`"' بحيثقد يكون

'"`UNIQ--postMath-00000128-QINU`"'، أي حتى '"`UNIQ--postMath-00000129-QINU`"' تقسم الفرق '"`UNIQ--postMath-0000012A-QINU`"'.

ويمكن إيجاد المعاكس '"`UNIQ--postMath-0000012B-QINU`"' باستخدام متطابقة بوزووحقيقة حتى القاسم المشهجر الأكبر '"`UNIQ--postMath-0000012C-QINU`"' يساوي 1. وفي حالة '"`UNIQ--postMath-0000012D-QINU`"' أعلاه،قد يكون معاكس أربعة هو4، ومعاكس ثلاثة هو2؛ لأن '"`UNIQ--postMath-0000012E-QINU`"'. وبالتالي فإن جميع بديهيات الزمر محقَّقة. إذا هذا المثال في الواقع مشابه لمثال '"`UNIQ--postMath-0000012F-QINU`"' أعلاه؛ فهويتكون بالضبط من تلك العناصر في '"`UNIQ--postMath-00000130-QINU`"' التي تملك معاكسًا ضربيًّا. يُرمَز لتلك الزمر بالرمز '"`UNIQ--postMath-00000131-QINU`"'. وهي بالغة الأهمية في التشفير باستخدام المفتاح المعلن.^18[›]

الزمر الدائرية

تشكل الجذور العقدية للوحدة من الدرجة لسادسة زمرة دائرية. يسمى '"`UNIQ--postMath-00000132-QINU`"' عنصرًا بدائيًّا، لكن '"`UNIQ--postMath-00000133-QINU`"' ليس كذلك؛ لأن القوي الفردية لـ '"`UNIQ--postMath-00000134-QINU`"' ليست قوى لـ '"`UNIQ--postMath-00000135-QINU`"'.

الزمرة الدائرية هي زمرة جميع عناصرها هي قوى لعنصر ما '"`UNIQ--postMath-00000136-QINU`"'. وباستخدام رموز الضرب، يُعبَر عن عناصر تلك الزمرة كالتالي:

'"`UNIQ--postMath-00000137-QINU`"'

حيث '"`UNIQ--postMath-00000138-QINU`"' يعني '"`UNIQ--postMath-00000139-QINU`"'، و'"`UNIQ--postMath-0000013A-QINU`"' يعني '"`UNIQ--postMath-0000013B-QINU`"'، إلى آخره.^19[›] يسمى مثل العنصر '"`UNIQ--postMath-0000013C-QINU`"' مولِّدًا أوعنصرًا بدائيًّا للزمرة. وبرموز الجمع،قد يكون شرط كون العنصر بدائيًّا حتىقد يكون جميع عنصر في الزمرة قابلًا للكتابة على صورة

'"`UNIQ--postMath-0000013D-QINU`"'

في الزمر '"`UNIQ--postMath-0000013E-QINU`"' المشروحة أعلاه، العنصر '"`UNIQ--postMath-0000013F-QINU`"' هوعنصر بدائي، ما يجعل تلك الزمر دائرية. يمكن التعبير عن جميع عنصر في تلك الزمرة في شكل مجموعٍ كلُّ حدوده هي '"`UNIQ--postMath-00000140-QINU`"'. وأي زمرة دائرية ذات العدد '"`UNIQ--postMath-00000141-QINU`"' من العناصر هي مساوية الشكل لتلك الزمرة. وتعد زمرة جذور الوحدة العقدية من الدرجة '"`UNIQ--postMath-00000142-QINU`"' مثالًا آخر للزمر الدائرية، وهي معطاة بالأعداد العقدية '"`UNIQ--postMath-00000143-QINU`"' التي تحقق المعادلة '"`UNIQ--postMath-00000144-QINU`"'. ويمكن تصور تلك الأعداد رؤوسًا لمضلع منتظم ذي عدد '"`UNIQ--postMath-00000145-QINU`"' من الأضلاع كالمشروح بالأزرق في الصورة، والذي فيه '"`UNIQ--postMath-00000146-QINU`"'. وعملية تلك الزمرة هي جداء الأعداد العقدية. وكما توضح الصورة، يقابل الضرب في '"`UNIQ--postMath-00000147-QINU`"' دورانًا بزاوية 60° عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالاستعانة ببعض من نظرية الحقول (الرياضيات)، يمكن للزمرة '"`UNIQ--postMath-00000148-QINU`"' حتى تبدودائرية: فمثلًا إذا كانت '"`UNIQ--postMath-00000149-QINU`"'، فإن '"`UNIQ--postMath-0000014A-QINU`"' مولد في تلك الزمرة؛ لأن '"`UNIQ--postMath-0000014B-QINU`"'، و'"`UNIQ--postMath-0000014C-QINU`"'، و'"`UNIQ--postMath-0000014D-QINU`"'، و'"`UNIQ--postMath-0000014E-QINU`"'.

تملك بعض الزمر الدائرية عددًا غير منتهٍ من العناصر. ولكل عنصر غير مساوللصفر '"`UNIQ--postMath-0000014F-QINU`"' في تلك الزمرة، تكون جميع قوى '"`UNIQ--postMath-00000150-QINU`"' مختلفة عن بعضها البعض؛ وبالتالي عملى الرغم من كون هكذا زمر "دائرية" إلا أنها لا تدور. وتكون أي زمرة دائرية غير منتهية مساوية الشكل لزمرة الأعداد السليمة تحت عملية الجمع '"`UNIQ--postMath-00000151-QINU`"' المشروحة أعلاه. وكل الزمر الدائرية أبيليةٌ كما رأينا في المثالين السابقين.

بلغت دراسة الزمر الأبيلية منتهية التوليد درجة كبيرة من النضوج، وهي تتضمن المبرهنة الأساسية للزمر الأبيلية منتهية التوليد، ويوجَد الكثير من المفاهيم المتعلقة بالزمر مثل المركز والمبادل تصف إلى أي مدى تكون زمرة ما غير أبيلية.

زمر التماثل

زمر التماثل هي زمر تتكون من تناظرات كائنات هندسية معينة ذات طبيعة هندسية (كزمرة التماثل للمربع المشروحة سابقًا) أوجبرية (مثل المعادلات كثيرة الحدود وحلولها). ومن الناحية النظرية، يمكن حتى تعَد نظرية الزمر دراسةً للتناظر.^20[›] تبسط التناظرات في الرياضيات دراسةَ الكائنات الهندسية والتحليلية تبسيطًا بالغًا. يُنطق عن زمرة ما أنها تؤثر على كائن رياضي آخر '"`UNIQ--postMath-00000152-QINU`"' إذا كان جميع عنصر للزمرة يؤدي عملية ما على '"`UNIQ--postMath-00000153-QINU`"' بالانسجام مع قانون الزمرة. وكما في المثال أدناه، فإن عنصرًا من الرتبةسبعة من زمرة المثلث (2,3,7) يؤثر على التبليط بتبديل المثلثات الملتوية المظللة (والمثلثات الأخرى أيضًا). يرتبط نمط الزمرة المؤثرة ببنية الكائن المتأثر من خلال تأثير الزمرة.

دورانات وانعكاسات من زمرة تماثل عشروني سطوح عظيم.

في حقول الكيمياء كفهم البلورات، تصف الزمر الفراغية والزمر النقطية التناظراتِ الجزيئيةَ والبلورية. تكمن تلك التناظرات وراء السلوك الفيزيائي والكيميائي لتلك الأنظمة، وتتيح نظرية الزمر تبسيط التحليل الميكانيكي الكمومي لتلك الخصائص. مثلًا تستخدَم نظرية الزمر لتوضيح حتى الانتنطقات البصرية بين المستويات الكمومية لا يمكن حتى يحدث ببساطة بسبب تناظر الحالات المعنية.

ليست الزمر مفيدة في تقييم الآثار الناتجة عن التناظرات في الجزيئات فحسب، ولكن من المدهش أنها تتنبأ أيضًا بأنه يمكن للجزيئات في بعض الأحيان حتى تغير من تناظرها. تأثير جان-تيلر هوتشويه جزيء ذي تناظر عالٍ عندما يتخذ حالة قاعية ما ذات تناظر أقل من مجموعة الحالات القاعية الممكنة المرتبطة ببعضها من خلال عمليات التناظر للجزيء.

وبالمثل تساعد نظرية الزمر في التنبؤ بالتغيرات في الخصائص الفيزيائية التي تنجم عن خضوع مادة ما لتحول طوري، كتحول المادة مثلًا من الشكل البلوري المكعبي إلى رباعي السطوح. وتعد المواد الفيروكهربية مثالًا على ذلك؛ حيث يحدث التغير من الحالة الباراكهربية إلى الحالة الكهربية الحديدية في درجة حرارة كوري، وهومرتب بتغير من الحالة الباراكهربية عالية التناظر إلى الحالة الفيروكهربية الأقل تناظرًا، ويكون ذاك التغيير مصحوبًا بما يسمى نمط فونون لينًا، وهونمط شبكية اهتزازية يصل فيه التردد إلى الصفر خلال الانتنطق.

إن لهذا وأمثالِه من طرق كسر التناظر التلقائي المزيدَ من التطبيقات في فيزياء الجسيمات الابتدائية، حيث حتى حدوثهم مرتبط بظهور بوزونات جولدستون.


يُظهِر البكمنسترفلورين تناظرًا عشروني السطوح.	الأمونيا N. زمرة تماثله من الرتبة 6، وهي مولَّدة بدوران بزاوية 120° وانعكاس واحد.	الكيوبان يتميز تناظر ثماني السطوح.	أيونات النحاس سداسية الإماهة (II) [Cu(OH₂)₆]²⁺ وهي أيونات معقدة. وبمقارنة الجزيء بشكل تام التناظر، يلاحَظ حتى الأول متوسع عموديًّا بحوالي 22% (تأثير جان-تيلر).	زمرة المثلث (2,3,7) الزائدية تؤثر على تبليط المستوى الزائدي الذي في الصورة.

تُستَخدم زمر التماثل المنتهية مثل زمرة ماتيوفي نظرية الترميز، والمطبَّقة بدورها في تسليم الخطأ للبيانات المنقولة، كما تُطبَّق زمرة ماتيوفي أجهزة السي دي. وتعد نظرية غالوا التفاضلية تطبيقًا آخر لزمر التماثل، وهي تصف الدوال ذات المشتقات العكسية، معطيةً معايير نظرية زمرية لكون حلول معادلات تفاضلية معينةٍ مهذبةً.^21[›] ثم إذا الخصائص الهندسية التي تظل مستقرة تحت تأثيرات الزمرة يُحقَّق بشأنها في النظرية الثابتة الهندسية.

الزمر الخطية العامة ونظرية التمثيل

متجهان (الرسم الأيسر) مضروبان في مصفوفتين (الرسمان الأوسط والأيمن). يمثل الرسم الأوسط دورانًا بمقدار 90° في اتجاه عقارب الساعة، في حين يتمدد الإحداثي x في الرسم الأيمن بالعامل 2.

تتكون زمرة المصفوفات من مصفوفات مع عملية ضرب المصفوفات. الزمرة الخطية العامة '"`UNIQ--postMath-00000154-QINU`"' مكونة من جميع المصفوفات من الرتبة '"`UNIQ--postMath-00000155-QINU`"' ذات المعكوس والمكونة من مدخلات حقيقية. ويطلق على زمرها الجزئية زمر المصفوفات أوالزمر الخطية. ويمكن حتى تعد الزمرة الزوجية المشروحة أعلاه زمرةَ مصفوفات بالغة الصغر. وكذا تعد الزمرة المتعامدة الخاصة '"`UNIQ--postMath-00000156-QINU`"' زمرةَ مصفوفات مهمة أخرى. وهي تصف جميع الدورانات الممكنة في العدد '"`UNIQ--postMath-00000157-QINU`"' من الأبعاد. تُستَخدم مصفوفات الدوران في الرسوميات الحاسوبية بواسطة زوايا أويلر.

نظرية التمثيل هي تطبيق لمفهوم الزمرة، كما أنها ضرورية للوصول إلى فهم أعمق للزمر. ويختص العاملون فيها بدراسة الزمرة من خلال تأثيراتها على الفضاءات الأخرى. وتشكل التمثيلات الخطية فئة كبيرة من تمثيلات الزمر، وهي الناجمة عن تأثير الزمرة على فضاء متجهي كالفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد '"`UNIQ--postMath-00000158-QINU`"'. إذا أي تمثيل للزمرة '"`UNIQ--postMath-00000159-QINU`"' على فضاء متجهي حقيقي بعدد '"`UNIQ--postMath-0000015A-QINU`"' من الأبعاد هوببساطة تشاكل زمري

'"`UNIQ--postMath-0000015B-QINU`"'

من الزمرة إلى الزمرة الخطية العامة. إلى غير ذلك تتحول عملية الزمرة (المعطاة تجريديًّا) إلى ضرب المصفوفات؛ فتصبح في متناوَل الحسابات الصريحة.^21[›]

يعطي هذا معاني أعمق لدراسة الكائن المؤثَّر عليه بتأثير زمري ما.^22[›] ومن ناحية أخرى، فإنه يعطي أيضا معلومات عن الزمرة. إذا تمثيلات الزمر مبدأٌ منظِّم في نظرية الزمر المنتهية وزمر لي والزمر الجبرية والزمر الطوبولوجية وخاصةً الزمر المتراصة (محليًّا).

لقد طُوِّرت زمر غالوا للمساعدة في حل المعادلات كثيرة الحدود من خلال تمثيل خصائصها التناظرية. فمثلًا تكون حلول المعادلة التربيعية '"`UNIQ--postMath-0000015C-QINU`"' معطاةً من خلال

'"`UNIQ--postMath-0000015D-QINU`"'

يمكن النظر إلى المبادلة بين "+" و"-" في التعبير السابق، أي تبديل حلى المعادلة، بمثابة عملية زمرية بسيطة جدًّا. وتوجد صيغ مماثلة معروفة للمعادلات التكعيبية والرباعية، ولكن هذا لا ينطبق عامة على الدرجة الخامسة وما فوقها. الخصائص التجريدية لزمر غالوا المتعلقة بكثيرات الحدود (خاصةً قابليتها للحلحلة) تعطي معيارًا لكثيرات الحدود التي يمكن التعبير عن كافة حلولها بالجذور، أي باستخدام الجمع والضرب والجذور فقط كما في الصيغة أعلاه.

من الممكن التعامل مع تلك المسألة من خلال التحول إلى نظرية الحقل مع النظر في حقل الانشطار لكثيرة الحدود. تعمم نظرية غالوا الحديثة هذا النوع من زمر غالوا المذكور أعلاه إلى امتدادات حقول وتضع—عن طريق المبرهنة الأساسية في نظرية غالوا—علاقة دقيقة بين الحقول والزمر، مما يؤكد مجددًا انتشار الزمر في فروع الرياضيات الأخرى.

الزمر المنتهية

يُنطق إذا الزمرة منتهية إذا امتلكت عدد محدودًا من العناصر. ذلك العدد يطلق عليه رتبة تلك الزمرة. وتعد الزمر المتماثلة '"`UNIQ--postMath-0000015E-QINU`"' من أبرز أصنافها، وهي زمر تباديل العدد N من الرموز. على سبيل المثال، تتكون الزمرة المتماثلة في ثلاثة رموز '"`UNIQ--postMath-0000015F-QINU`"' من جميع التسلسلات الممكنة للحروف اللثلاث '"`UNIQ--postMath-00000160-QINU`"'، أي '"`UNIQ--postMath-00000161-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-00000162-QINU`"' إلى غير ذلك حتى '"`UNIQ--postMath-00000163-QINU`"'، وعددها في المجملستة (عاملي 3). ويكون هذا الصنف أساسيًّا طالما حتى أي زمرة منتهية يمكن التعبير عنها في صورة زمرة جزئية من زمرة متماثلة '"`UNIQ--postMath-00000164-QINU`"' حيث '"`UNIQ--postMath-00000165-QINU`"' عدد سليم مناسب (مبرهنة كيلي). وكما في زمرة تماثلات المربع المشروحة أعلاه، يمكن تناول الزمرة '"`UNIQ--postMath-00000166-QINU`"' على أنها زمرة تماثلات مثلث متساوي الأضلاع.

تعهد رتبة العنصر '"`UNIQ--postMath-00000167-QINU`"' في المجموعة '"`UNIQ--postMath-00000168-QINU`"' بأنها أقل عدد سليم موجب '"`UNIQ--postMath-00000169-QINU`"' يحقق أن '"`UNIQ--postMath-0000016A-QINU`"'، حيث '"`UNIQ--postMath-0000016B-QINU`"' يمثل

'"`UNIQ--postMath-0000016C-QINU`"'

أي تطبيق العملية '"`UNIQ--postMath-0000016D-QINU`"' على '"`UNIQ--postMath-0000016E-QINU`"' نُسَخ من '"`UNIQ--postMath-0000016F-QINU`"'، فإن كانت '"`UNIQ--postMath-00000170-QINU`"' تمثل الضرب، فإن '"`UNIQ--postMath-00000171-QINU`"' يمثل العدد '"`UNIQ--postMath-00000172-QINU`"' مرفوعًا للأس '"`UNIQ--postMath-00000173-QINU`"'. في الزمر غير المنتهية قد لا يوجد مثل العدد '"`UNIQ--postMath-00000174-QINU`"'، ويُنطق حينها إذا رتبة '"`UNIQ--postMath-00000175-QINU`"' هي اللانهاية. وبتعبير آخر، رتبة العنصر في زمرة هي رتبة الزمرة الجزئية الدورية التي يولدها هذا العنصر.

تنتج عن البيانات المتعلقة بالزمر المنتهية طرقٌ أكثر تعقيدًا في العد مثل عد المجموعات المشاركة، ومنها مبرهنة لاغرانج التي تنص على أنه عندما تكون '"`UNIQ--postMath-00000176-QINU`"' زمرة منتهية، تقبل رتبتها القسمة على رتبة أي زمرة جزئية منها '"`UNIQ--postMath-00000177-QINU`"'، وتثبت مبرهنات سيلوالعكس الجزئي لمبرهنة لاغرانج.

تعد الزمرة الزوجية (المشروحة أعلاه) زمرة منتهية من الرتبة 8. رتبة العنصر '"`UNIQ--postMath-00000178-QINU`"' تساوي 4؛ حيث أنها أيضًا رتبة الزمرة الجزئية التي يولدها ذلك العنصر '"`UNIQ--postMath-00000179-QINU`"' (انظر أعلاه). ورتبة عناصر الانعكاس ('"`UNIQ--postMath-0000017A-QINU`"' وما علا شاكلته) تساوي 2. وكلتا الرتبتين الأخيرتين تقسم رتبة الزمرة الكبرى وهي 8، وهذا ما أثبتته مبرهنة لاغرانج. وتمتلك الزمر '"`UNIQ--postMath-0000017B-QINU`"' رتبة تساوي '"`UNIQ--postMath-0000017C-QINU`"'.

تصنيف الزمر المنتهية البسيطة

غالبًا ما يسعى فهماء الرياضيات إلى وضع تصنيف متكامل (أوقائمة) لأي مفهوم رياضي. ويؤدي هذا الهدف إلى معضلات رياضية صعبة فيما يتعلق بالزمر المنتهية. وفقًا لمبرهنة لاغرانج، تكون الزمر المنتهية من الرتبة p (عدد أولي) زمرًا دورية (أبيلية) بالضرورة، ورمزها '"`UNIQ--postMath-0000017D-QINU`"'. يمكن أيضًا للزمر من الرتبة '"`UNIQ--postMath-0000017E-QINU`"' حتى تظهر أبيلية، لكن ذلك لا يضم الزمر من الرتبة '"`UNIQ--postMath-0000017F-QINU`"'، كما يظهر أعلاه في مثال الزمرة '"`UNIQ--postMath-00000180-QINU`"' ذات الرتبةثمانية = 2³. يمكن لنظم الجبر المحوسبة حتى تُستخدم لعمل قائمة بالزمر الصغيرة، ولكن لا يوجد تصنيف يضم كافة الزمر المنتهية.^19[›] لكن أمكن تصنيف الزمر المنتهية البسيطة.^20[›] تسمى الزمر غير التافهة بسيطة إذا كان لها زمرتان جزئيتان طبيعيتان لا ثالثة لهما هما الزمرة التافهة والزمرة نفسها.^21[›] تُظهر مبرهنة جوردان-هلدر الزمرَ المنتهية البسيطة في شكل اللبنات الأساسية لكافة الزمر المنتهية. إذا وضع قائمة بكافة الزمر المنتهية البسيطة كان إنجازًا رائدًا في نظرية الزمر المعاصرة. نجح العالم ريتشارد بورشردس الحائز على ميدالية فيلدز عام 1998 - في برهنة حدسيات نظرية مونشاين، وهي علاقة مدهشة وعميقة بين أكبر زمرة مشتتة منتهية بسيطة —"زمرة الوحش"—، ودوال نمطية معينة (والدوال النمطية هي جزء من التحليل المركب التقليدي)، ونظرية الأوتار (النظرية التي يُفترض أنها تمثل الوصف الفيزيائي الموحَّد للعديد من الظواهر الفيزيائية).

زمر ببُنى إضافية

زمر طوبولوجية

زمر لي

سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات سوفوس لي.

تعميمات

انظر أيضاً

متتالية منضبطة
زمرة أبيلية

الهوامش

1: تسرد ماثماتيكل ريفيوز 3,224 ورقة بحثية عن نظرية الزمر وقوانينها كُتبت عام 2005.
2: أُعلن عن التصنيف عام 1983، لكن برهانه كان ناقصًا.
3: تكون بديهية الانغلاق معنية شرط حتى تكون • عملية ثنائية، ولذلك يتجاهلها بعض الكتاب. ومع ذلك فإن بنى الزمر كثيرًا ما تبدأ بعملية فهم في مجموعة شاملة، ولذلك فمن الشائع استخدام خطوة الانغلاق في برهنة حتى نظامًا ما زمرة. لانغ 2002
4: وفقًا لذلك، لا يعتمد ناتج القيام بعملية الزمرة بين أكثر من عنصرين فيها على ترتيب قيامنا بالعمليات؛ فالتعبير '"`UNIQ--postMath-00000181-QINU`"' يعني أننا نقوم أولًا بإيجاد ناتج '"`UNIQ--postMath-00000182-QINU`"' ثم تُؤدى العملية بينه وبين '"`UNIQ--postMath-00000183-QINU`"'، أما التعبير '"`UNIQ--postMath-00000184-QINU`"' فيعني حساب ناتج '"`UNIQ--postMath-00000185-QINU`"' أولًا، ثم تأدية العملية بين '"`UNIQ--postMath-00000186-QINU`"' وبين هذا الناتج.
5: غالبًا ما يُستخدم الحرف '"`UNIQ--postMath-00000187-QINU`"' للتعبير عن العنصر المحايد، وهوالحرف الأول من الحدثة الألمانية Einheit. للمزيد طالع صفحة Identity Element من ماثوورلد.
6: طالع مثلًا خط لانغ (2002، 2005) وهيرستاين (1996، 1975).
7: يعني التشاكل بالإنجليزية "homomorphism"، وهي مشتقة من الحدثتين الإغريقيتين "ὁμός" وتعني نفس أوذات، و"μορφή" وتعني البنية أوالشكل.
8: رغم ذلك، لا تتحدد الزمرة تحديدًا تامًّا بشبكية الزمر الجزئية خاصتها. انظر سوزوكي 1951.
9: إن حقيقة حتى عملية الزمرة توسع نطاق ذلك قانونيًّا هي مثيل للخاصية الكاملة.
10: تتمثل التطبيقات التباينية والشمولية في التشاكل الأحادي والتشاكل الكامل على الترتيب. وهما يلتقيان عند وضعها في فئة مزدوجة.
11: اقرأ عن مبرهنة سيفرت-فان كامبن مثالًا على ذلك.
12: من بين الأمثلة تشابه الزمر المشارك لزمرة ما والذي يساوي التماثلية الفردية لفضاء التصنيف.
13: تُسمَّى العناصر التي تملك معاكسات ضربية بالوحدات، طالع لانغ 2002, القسم II.1، ص 84.
14: تحويل الأعداد السليمة إلى أعداد كسرية من خلال جمع الكسور يُعمَّم بحقل الكسور.
15: الأمر نفسه سليم لأي حقل '"`UNIQ--postMath-00000188-QINU`"' فيما بدلًا من'"`UNIQ--postMath-00000189-QINU`"'. طالع لانغ 2005, القسم III.1، ص 86.
16: فمثلًا تكون أي زمرة جزئية منتهية من الزمرة الضربية لحقل ما دائرية حتمًا. طالع لانغ 2002, المبرهنة IV.1.9. يعد مصلحا الفتل لنموذج والجبار البسيطة مثالين آخرين لهذا المبدأ.
17: تصلح الخاصية المذكورة تعريفًا للأعداد الأولية. طالع العنصر الأولي.
18: فمثلًا يَستَخدم ميثاق ديفي-هيلمان اللوغاريتمَ المتبتر.

المصادر

^ هيرستاين 1975, قسم 2، ص 26
^ هول 1967, قسم 1.1، ص 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."
^ لانغ 2005, الملحق 2، ص 360
^ هيرستاين 1975, قسم 2.1، ص 27
^ رامون 2010, ص 5
^ Eric W. Weisstein, Identity Element at MathWorld.
^ هيرستاين 1975, قسم 2.6، ص 54
^ وسنغ 2007
^ كلينر 1986
^ سميث 1906
^ غالوا 1908
^ كلينر 1986, ص 202
^ كيلي 1889
^ وسنغ 2007, القسم الثالث.2
^ لي 1973
^ كلينر 1986, ص 204
^ وسنغ 2007, القسم الأول.3.4
^ جوردان 1870
^ فون ديك 1882
^ كورتيس 2003
^ ماكي 1976
^ بورل 2001
^ أشباخر 2004
^ ليدرمان 1953, القسم 1.2، ص 4–5
^ ليدرمان 1973, القسم I.1، ص 3
^ لانغ 2002, القسم I.2، ص 7
^ لانغ 2005, القسم II.1، ص 17
^ خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة MacLane
^ لانغ 2005, القسم II.3، ص 34
^ لانغ 2005, القسم II.1، ص 19
^ ليدرمان 1973, القسم II.12، ص 39
^ لانغ 2005, القسم II.4، ص 41
^ لانغ 2002, القسم I.2، ص 12
^ لانغ 2005, القسم II.4، ص 45
^ لانغ 2002, القسم I.2، ص 9
^ هاتشر 2002, الفصل الأول، ص 30
^ كورنير, دلزان & بابادوبولوس 1990
^ ومن أمثلة تلك الزمر زمرة الصنف وزمر بيكارد. انظر نويكيرش 1999، وخاصة القسمين I.12 وI.13
^ شيريش 1997
^ لانغ 2005, الفصل السابع
^ روزن 2000, ص 54 (المبرهنة 2.1)
^ لانغ 2005, القسم VIII.1، ص 292
^ لانغ 2005, القسم II.1، ص 22
^ لانغ 2005, القسمII.2، ص 26
^ لانغ 2005, القسم II.1، ص 22 (المثال 11)
^ لانغ 2002, القسم I.5، ص 26، 29
^ فايل 1952
^ كونواي, دلغادوفريدريكس & هيوسن et al. 2001. كالع أيضًا بيشوب 1993
^ بيرسكر, إسحق (2006), The Jahn-Teller Effect, مطبعة جامعة كامبريدج, p. 2, ISBN 0-521-82212-2
^ جان & تيلر 1937
^ دوف, مارتن (2003), Structure and Dynamics: an atomic view of materials, مبعة جامعة أوكسفورد, p. 265, ISBN 0-19-850678-3
^ ولش 1989
^ مومفورد, فوغارتي & كيروان 1994
^ لاي 2003
^ كويبرس 1999
^ فولتن & هاريس 1991
^ سير 1977
^ رودين 1990
^ روبنسن 1996, ص viii
^ أرتين 1998
^ لانغ 2002, الفصل VI (وخاصة ص 273 للأمثلة)
^ لانغ 2002, ص 292 (المبرهنة VI.7.2)
^ كورزويل & شتلماخر 2004
^ أرتين 1991, المبرهنة 6.1.14. طالع أيضًا لانغ 2002, ص 77 لنتائج مماثلة
^ لانغ 2002, القسم I. 3، ص 22
^ رونن 2007

المراجع

مراجع عامة

أرتين, مايكل (1991), Algebra, برنتس هول, ISBN 978-0-89871-510-1
ديفلن, كيث (2000), The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN 978-0-8050-7254-9
رامون, بيير (2010) (in الإنجليزية), Group Theory: A Physicist's Survey, مطبعة جامعة كامبردج, p. 5, ISBN 9780521896030
روبنسن, ديرك جون سكوت (1996), A course in the theory of groups, برلين،نيويورك: سبرنجر, ISBN 978-0-387-94461-6 .
فولتن, وليم; هاريس, جو(1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, نيويورك: سبرنجر, نطقب:MathSciNet, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8
لانغ, سيرج (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (3 المنقحة ed.), نيويورك: سبرنجر, نطقب:MathSciNet, ISBN 978-0-387-95385-4
لانغ, سيرج (2005), Undergraduate Algebra (3 ed.), برلين، نيويورك: سبرنجر, ISBN 978-0-387-22025-3 .
ليدرمان, وولتر (1953), Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London .
ليدرمان, وولتر (1973), Introduction to group theory, نيويورك: Barnes and Noble, OCLC 795613 .
هول, جورج (1967), Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc.، نيويورك
هيرستاين, إسرائيل ناثان (1996), Abstract algebra (3 ed.), أبر سيدل ريفر، نيوجيرسي: برنتس هول, ISBN 978-0-13-374562-7 .
هيرستاين, إسرائيل ناثان (1975), Topics in algebra (2 ed.), لكسينغتون، ماساتشوستس: دار نشر كلية زيروكس .

مراجع خاصة

مراجع تاريخية

أوكونور, جيه جيه; روبرتسن, إي إف (1996), The development of group theory, http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html .
بورل, أرمان (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضياتية الأمريكية, ISBN 978-0-8218-0288-5
(بالفرنسية) جوردان, كامي (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques, باريس: Gauthier-Villars, http://www.archive.org/details/traitdessubstit00jordgoog .
سميث, ديفيد يوجين (1906), History of Modern Mathematics, Mathematical Monographs, No. 1, http://www.gutenberg.org/etext/8746 .
غالوا, إيفاريست (1908), تانري, جول, ed., Manuscrits de Évariste Galois, باريس: Gauthier-Villars, http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAN9280 (نشر مؤلَّف غالوا لأول مرة على يد جوزيف ليوفيل عام 1843).
(بالألمانية) فون ديك, فالتر (1882), "Gruppentheoretische Studien", حوليات رياضياتية 20 (1): 1–44, doi:10.1007/BF01443322, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0020&DMDID=DMDLOG_0007&L=1 .
كلينر, إسرائيل (1986), "The evolution of group theory: a brief survey", مجلة الرياضيات 59 (4): 195–215, doi:10.2307/2690312 .
كورتيس, شارلز ويتلسي (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer, History of Mathematics, بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضياتية الأمريكية, ISBN 978-0-8218-2677-5 .
كيلي, آرثر (1889), The collected mathematical papers of Arthur Cayley, المجلد الثاني (1851–1860), مطبعة جامعة كامبريدج, http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 .
لي, سوفوس (1973), Gesammelte Abhandlungen. Band 1, نيويورك: Johnson Reprint Corp. .
ماكي, جورج وايتلو(1976), The theory of unitary group representations, مطبعة جامعة شيكاغو
وسنغ, هانز (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory, نيويورك: منشورات دوفر, ISBN 978-0-486-45868-7 .

[1] هيرستاين 1975, قسم 2، ص 26

[2] هول 1967, قسم 1.1، ص 1: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."

[3] لانغ 2005, الملحق 2، ص 360

[4] هيرستاين 1975, قسم 2.1، ص 27

[5] رامون 2010, ص 5

[6] Eric W. Weisstein, Identity Element at MathWorld.

[7] هيرستاين 1975, قسم 2.6، ص 54

[8] وسنغ 2007

[9] كلينر 1986

[10] سميث 1906

[11] غالوا 1908

[12] كلينر 1986, ص 202

[13] كيلي 1889

[14] وسنغ 2007, القسم الثالث.2

[15] لي 1973

[16] كلينر 1986, ص 204

[17] وسنغ 2007, القسم الأول.3.4

[18] جوردان 1870

[19] فون ديك 1882

[20] كورتيس 2003

[21] ماكي 1976

[22] بورل 2001

[23] أشباخر 2004

[24] ليدرمان 1953, القسم 1.2، ص 4–5

[25] ليدرمان 1973, القسم I.1، ص 3

[26] لانغ 2002, القسم I.2، ص 7

[lang2005-27] لانغ 2005, القسم II.1، ص 17

[MacLane-28] خطأ استشهاد: وسم <ref> غير سليم؛ لا نص تم توفيره للمراجع المسماة MacLane

[29] لانغ 2005, القسم II.3، ص 34

[30] لانغ 2005, القسم II.1، ص 19

[31] ليدرمان 1973, القسم II.12، ص 39

[32] لانغ 2005, القسم II.4، ص 41

[33] لانغ 2002, القسم I.2، ص 12

[34] لانغ 2005, القسم II.4، ص 45

[35] لانغ 2002, القسم I.2، ص 9

[36] هاتشر 2002, الفصل الأول، ص 30

[37] كورنير, دلزان & بابادوبولوس 1990

[38] ومن أمثلة تلك الزمر زمرة الصنف وزمر بيكارد. انظر نويكيرش 1999، وخاصة القسمين I.12 وI.13

[39] شيريش 1997

[40] لانغ 2005, الفصل السابع

[41] روزن 2000, ص 54 (المبرهنة 2.1)

[42] لانغ 2005, القسم VIII.1، ص 292

[43] لانغ 2005, القسم II.1، ص 22

[44] لانغ 2005, القسمII.2، ص 26

[45] لانغ 2005, القسم II.1، ص 22 (المثال 11)

[46] لانغ 2002, القسم I.5، ص 26، 29

[47] فايل 1952

[48] كونواي, دلغادوفريدريكس & هيوسن et al. 2001. كالع أيضًا بيشوب 1993

[Bersuker-49] بيرسكر, إسحق (2006), The Jahn-Teller Effect, مطبعة جامعة كامبريدج, p. 2, ISBN 0-521-82212-2

[50] جان & تيلر 1937

[Dove-51] دوف, مارتن (2003), Structure and Dynamics: an atomic view of materials, مبعة جامعة أوكسفورد, p. 265, ISBN 0-19-850678-3

[52] ولش 1989

[53] مومفورد, فوغارتي & كيروان 1994

[54] لاي 2003

[55] كويبرس 1999

[FultonHarris-56] فولتن & هاريس 1991

[57] سير 1977

[58] رودين 1990

[59] روبنسن 1996, ص viii

[60] أرتين 1998

[61] لانغ 2002, الفصل VI (وخاصة ص 273 للأمثلة)

[62] لانغ 2002, ص 292 (المبرهنة VI.7.2)

[63] كورزويل & شتلماخر 2004

[64] أرتين 1991, المبرهنة 6.1.14. طالع أيضًا لانغ 2002, ص 77 لنتائج مماثلة

[65] لانغ 2002, القسم I. 3، ص 22

[66] رونن 2007

مفهوم رياضي
المسمى العربي	زمرة أومجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معهد
الرمز اللاتيني	'"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'
رياضيون	إيفاريست جالوا
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
خط ومراجع