الرياضيات في العصر العباسي

حفل هذا العصر بعدد كبير من كبار الرياضيين الذين أبدعوا في علوم الرياضيات ، وسنقدم هنا بإيجاز بعضًا من إنجازاتهم التى أثرت تأثيرًا بارزًا في ازدهار الفكر الرياضى وتقدمه في الشرق والغرب .

الحساب

تمكن فهماء المسلمين من ابتكار نظامين لكتابة الأرقام.

• النظام الأول: ويسمى بالأرقام الغبارية، وسميت بذلك؛ لأنهم كانوا يذرون غبارًا خفيفًا على الألواح ثم يخطون فوق هذا الغبار بالأرقام. وهذه الأرقام تقوم في أساسها على الزوايا وهى: 9876543210، التى تنتشر في المغرب العربى بما في ذلك الأندلس، ومنها دخلت إلى أوربا وسميت بالأرقام العربية.
• النظام الثاني: وهوالأرقام الهندية، وهى الطريقة المتوارثة المنتشرة في الأقطار الإسلامية والعربية المشرقية إلى الآن. كما ابتكر المسلمون مفهوم "الصفر" الذى سهل العمليات الحسابية تسهيلا لا حدود له، وعهدوه بأنه: "المكان الخالى من أى شىء". وقد أخذه الأوربيون باسمه العربي وتداولوه في مختلف لغاتهم، فنطق الإنجليز: "Cipher"، ونطق الفرنسيون: "Chiffre"، ونطق الألمان:"Ziffer"، وسرعان ما خضع لعوامل التغيير اللغوى وصار: "Zero". ويقول الدكتور"كارل بوير" في كتابه "تاريخ الرياضيات": "إنه بدون اكتشاف العرب للأعداد العربية كان من الممكن حتى تكون الرياضيات الآن في مهدها، ولكن بواسطتها استطاع الإنسان حتى يخترع، وأن يعهد الطبيعة بأكملها".

ولقد قسم المسلمون الأعداد العربية إلى قسمين أساسين هما: زوجى، وفردى. وعهدوا كلا منهما، كما بحثوا في أنواعها ونظرياتها، وفى ذلك نطقوا: "ما من عدد إلا وله خاصية أوعدة خواص، لا يشاركه فيها غيره". ولم يقف المسلمون عند هذا الحد، بل بحثوا في النسبة والمتواليات وقسموها إلى ثلاثة أنواع:

• 1- المتواليات العددية.
• 2- المتواليات الهندسية.
• 3- المتواليات التوافقية أوالتأليفية.

وكشفوا عن بعض حقائق النسبة فيما يتعلق بالأبعاد والأثنطق، وكيفية استخراج الأنغام والألحان من النسبة التأليفية. وقد بسط "إخوان الصفا" في القرن الرابع الهجرى القول في ذلك، حيث ذكروا في رسائلهم: "إن فهم النسبة فهم شريف جليل، وإن الحكماء جميع ما وضعوه من تأليف حكمتهم عملى هذا الأصل أسسوه وأحكموه، وقضوا لهذا الفهم بالفضل على سائر العلوم، إذ كانت كلها محتاجة إلى حتى تكون مبنية عليه، ولولا ذلك لم يصح عمل، ولا صناعة، ولاثبت شىء من الموجودات على الحال الأفضل". أما فيما يتعلق بالتناسب، وطريقة استخراج المجهول، فقد أبدعوا أيما إبداع، لقد أوضحوا استخراج المجهولات بالأربعة المتناسبة، وبحساب الخطأين، وبكيفية التحليل والتعاكس، وبطريقةالجبر. كما ابتكر المسلمون طرقًا جديدة في العمليات الحسابية حملت اسم المسلمين. ومما لا ريب فيه حتى المسلمين هم مبتدعوالكسر العشرى بما هوعليه الآن من ابتكار الخط المستقيم الفاصل بين البسط والمقام. ويقول في ذلك الأستاذ الكبير "لويس كارينكى" في كتابه "المؤثرات على تاريخ العلوم": "إن الكسر الاعتيادى واستعماله كما هوالآن من المعالم التاريخية التى يجب حتى يفخر بها المسلمون"، ويقول العالم الرياضى المشهور "ل. فودستين" في منطقة بعنوان "الاعداد العربية": "إن وصول الرياضيات لما هى عليه الآن يرجع إلى ابتكار المسلمين لعملياتهم الحسابية العظيمة". ومن الخط التى وضعت في الحساب:

كتاب للخوارزمى يعتبر الأول في نوعه من حيث التبويب والمادة الفهمية، كما يعتبر أول كتاب في الحساب نقله الأوربيون إلى لغاتهم، واستمر زمنًا طويلا مرجعًا هامًا للفهماء والتجار والمحاسبين، ويدل الكتاب على حتى المسلمين ابتكروا كثيرًا من المسائل التى تشحذ الذهن وتقوى التفكير، كما أنه يعكس الأسلوب المتميز الذى اتبعوه في إجراء العمليات الحسابية بحيث كانوا يوردون لكل عملية حسابية طرقًا متعددة تتسار مع مراحل النمو. ومن الطريف حتى فهماء التربية الحديثة أوصوا باستخدام "خوارزمية الضرب بطريقة الشبكة" في المدارس الابتدائية لسهولة فهمها ومقدرة طلاب هذه الفترة على فهمها. وكتاب "الباهر" في الحساب والجبر وعلاقتهما بالهندسة للسموأل بن يحيى المغربى، وقد نشرت مخطوطة هذا الكتاب حديثًا في سوريا، وهوكتاب يعهد بعالم رياضى جليل يحتل مكانة عالية بين فهماء العرب والمسلمين.

وهناك خط كثيرة أخرى لاتقل أهمية عن ذلك مثل: كتاب "الجامع في أصول الحساب" للحسن بن الهيثم، وكتاب "المقنع في الحساب" للقاضى النسوى، وخط "الفخرى" و"الكافى" و"البديع" لأبى بكر الكرجى، وغيرها. كذلك لعبت بعض المؤلفات في فهم الحساب دورًا هامًا في الكشف عن اللوغاريتمات ووضع جداولها التى أصبحت عظيمة الفائدة في تسهيل حل المسائل المتضمنة أعدادًا كبيرة وتقوم فكرتها أساسًا على استبدال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، وفهم الصلة بين حدود المتواليات الهندسية وحدود المتوالية العددية. ومن هذه المؤلفات كتاب "الجمع والتفريق" لسنان بن الفتح الحرانى الذى شرح فيه كيفية إجراء عمليات الضرب والقسمة بواسطة عمليات الجمع والطرح. واستطاع ابن يونس المصرى حتى يتوصل إلى إيجاد القانون الأتى:

جتا س جتا ص = ½ جتا (س+ص) +½ جتا (س-ص). وكان لهذا القانون قيمة كبيرة عند فهماء الفلك قبل اكتشاف اللوغاريتمات؛ إذ يسهل حلول كثير من المسائل الطويلة المعقدة. ومازالت في أوربا جداول اللوغاريتمات المعروفة في عصرنا تحمل اسم الخوارزمى أو"الغوريتمى".

فهم الجبر

سرعان ما طرق المسلمون باب التاريخ وسجلوا لأول مرة "فهم الجبر" وعنهم أخذ العالم هذه الحدثة"Algebra"" بأبعادها الفهمية، حتى يقول "كاجورى": إذا العقل ليدهش عندما يرى ما قدمه المسلمون في فهم الجبر، لانهم في الحقيقة قدموه في صورة فهمية ناضجة، سار على منوالهم فيها جميع الدارسين للرياضيات. وكان كتاب "الجبر واللقاءة" للخوارزمى هومصدرهم الاساسى، ويعد الخوارزمى أول من استنبط هذا الفهم واستخرجه، وقد أورد فيه 800 مثالاً، ونقله إلى اللاتينية "جيرار الكريمونى" خلال القرن (12م)، فاعتمدت عليه جامعات أوربا حتى القرن(16م) وبواسطته عهدت أوربا مبادئ فهم الجبر. كما توصل ثابت بن قرة إلى حجم الجسم المكافئ؛ ولهذا يعتبره كثير من الرياضيين مبتكرفهم التفاضل والتكامل. وخط البروفيسور "ديفيد سميث" في كتابه "تاريخ الرياضيات": "إن ثابت بن قرة، صاحب الفضل في اكتشاف فهم التفاضل والتكامل؛ حيث أوجد حجم الجسم المكافئ، وذلك في عام (256هـ). ومن المعروف حتى فهم التفاضل والتكامل أعان على حل عدد كبير من المسائل الصعبة والعمليات الملتوية". وتقدم عمر الخيام بفهم الجبر خطوات إلى الأمام، وله كتاب نشر حديثًا بأمريكا سنة (1932م)، غير خطه الأخرى المترجمة إلى اللغات الاجنبية وخاصة الفرنسية، وقد تميز كتابه في الجبر عن كتاب الخوارزمى، وطور المعادلات الجبرية من الدرجة الثالثة والرابعة بواسطة بتر المخروط، وهوأرقى ما وصل إليه المسلمون في الجبر، بل هوأرقى ما وصل إليه فهماء الرياضيات في حل المعادلات في الوقت الحاضر. كما كان لكتاب الجبر واللقاءة للخوارزمى شروح عديدة قام بها الكثير من فهماء المسلمين الذين اهتموا بتطوير هذا الفهم والتأليف فيه والإضافة إليه، مثل: أبي الوفاء البوزجانى ، وأبي بكر الكرخي، والسموأل المغربي، وعبد الله بن الحسن الحاسب، وغيرهم.

فهم الهندسة

تعتبر الهندسة من أبرز شواهد الحضارة الإنسانية وتطورها، وللمسلمين فيها باع طويل، فقد حفظوها من الضياع طوال العصور الوسطى، وأسلموها إلى أوربا لتبنى عليها، واستخدموا الجبر في بيان أوجهها، وشرحوا، وفرعوا، وأضافوا إضافات جديدة، كأسس الهندسة التحليلية، ولا يخفى حتى الرياضيات الحديثة تبدأ منها، وترجموا كثيرًا من الخط لإقليدس وبطليموس وأرشميدس. ثم تصدى لشرح كتاب إقليدس وبرهان مسلماته كثيرون مثل: البيروني، والحسن ابن الهيثم، وعمر الخيام، وغيرهم كما تطرقوا إلى قضايا وبحوث جديدة لم يتناولها إقليدس.

وكان كتاب ابن الهيثم "شرح مصادرات إقليدس" الذى عنى بالمسلمات، وكتابه "حل شكوك إقليدس في الأصول وشرح معانيه" من أبرز المؤلفات التى أثارت الكثير من المجادلات والمناقشات الفهمية، وفتحت الباب لمزيد من التأليف في هذا المجال. وبقيت أوربا تستعمل في جامعاتها هندسة إقليدس المترجمة عن اللغة العربية حتى القرن(16م)، واستطاع عمر الخيام حتى يبرهن حتى مجموع زوايا أى شكل رباعى تساوى(360ْ) ومجموع زوايا أى مثلث تساوى (180ْ). وكان للبيرونى جهود مشكورة في فهم الهندسة، ومن خطه "استخراج الأوتار في الدائرة بخواص الخط المنحنى فيها"، وقد أراد البيرونى في هذا الكتاب تسليم دعوى القدماء اليونانيين في انقسام الخط المنحنى في جميع قوس بالعمود النازل عليها من منتصفها والتغيير من خواصه. وقد ركز فهماء المسلمين على الهندسة التطبيقية، ويتجلى هذا بوضوح في بعض مؤلفات ابن الهيثم كمنطقته في "استخراج سمت القبلة"، ومنطقته "فيما تدعوإليه حاجة الأمور الشرعية من الأمور الهندسية"، وكتاب طابق فيه بين الأبنية والحفور بجميع الأشكال الهندسية، وغيرها، ومن المؤلفات القيمة في فهم الهندسة كتاب "الشكل الهندسى" لمحمد بن موسى بن شاكر، وكتاب في "استخراج المسائل الهندسية" لثابت بن قرة، وكتاب في "الأعمال الهندسية"لنفس المؤلف، وكتاب "الأعمال الهندسية" لأبى الوفاء البوزجاني. ومنح الكندي جزءًا كبيرًا من وقته لفهم الهندسة؛ فألف فيها(32)كتابًا ورسالة، منها رسالة في "الهندسة الكروية"، ورسالة في "الأشكال الكروية"، ورسالة في "الهندسة المستوية"، وكتاب في "تسطيح الكرة" وغير ذلك.

فهم حساب المثلثات

وفهم حساب المثلثات فهم عربى إسلامى، ويعترف جميع فهماء الرياضيات الأوربيين بأن المسلمين أسهموا الإسهام الأساسى في إنشاء فهم المثلثات، وأن الفضل يرجع لهم في جعله فهمًا منتظمًا ومستقلا عن فهم الفلك.

وقد نطق "رام لاندو" في كتابه "المؤثر على حضارة العرب": "إن حساب المثلثات في أوربا كان مأخوذًا من فهم حساب المثلثات عند المسلمين. ويقول "ديفيد سميث" في كتابه تاريخ الرياضيات": "...ولم تدرس المثلثات الكروية المائلة بصورة جديدة وجدية إلا على أيدى العرب والمسلمين في القرن الرابع الهجرى، العاشر الميلادى". وقد قام المسلمون بحل معادلات مثلثية كثيرة عن طرق التقريب، وهم أول من أدخل المماس في إعداد النسب المثلثية. ويروى مؤرخوالرياضيات حتى فهماء المسلمين كانوا هم أول من استخدم المعادلات المثلثية، وإليهم يرجع الفضل في تطوير الظل والجيب في فهم حساب المثلثات. ويقول "جوزيف هل" في كتابه "حضارة العرب": "إن فهم الجيب والظل يعتبر من تراث السلمين"، ويضيف الدكتور "دارك ستروك" في كتابه "المختصر في تاريخ الرياضيات": "إن حدثة جيب حدثة عربية، وهذا لا يهجر مجالا للشك في حتى الفضل يرجع إلى المسلمين في تطويرها إلى ماهى عليه الآن". ومن الفهماء المسلمين الذين برزوا في هذا الفهم ابن سنان البتانى، وهوأول من استخدم المعادلات المثلثية، وأبوالوفاء البوزجانى أول من أدخل المماس في عداد النسب المثلثية، واستخدم المماسات، والقواطع، ونظائرها في قياس المثلثات والزوايا. كما ابتكر طريقة لإنشاء جداول للجيوب في المثلثات المستوية، ومنح جيب نصف الدرجة سليمًا لثمانية أرقام عشرية، ووضع جداول لنسبة الظل التى أدخلها مع نسبتى القاطع وقاطع التمام. ومن الفهماء الذين أسهموا في فهم المثلثات: أبوالعباس التبريزى ، وأبوجعفر الخازن في القرن الرابع الهجرى، والبيرونى، والعالم الأندلسى الجليل أبوإسحاق إبراهيم بن يحيى النقاش المعروف بابن الزرنطقى عند الغربيين، وكان له أثر عظيم في فهم حساب المثلثات وخاصة المثلث الكروى، ووجد اسم جيب الزواية واستعمالها في كتاب ابن الزرنطقى. وقد ألف كذلك جداول لفهم حساب المثلثات ترجمها الغرب إلى اللاتينية. ويقول "سيديو" عن إنجازات البتانى في فهم المثلثات: "يرجع أول تقدم في فهم المثلثات إلى البتانى، فقد بدا لهذا الفلكى العظيم -الملقب ببطليموس العرب- حتى يستبدل الأقواس بالأوتار للأقواس المضاعفة أى جيوب الأقواس المقترحة". ثم يذكر من أقوال البتانى قوله: "لم يستعمل بطليموس الأوتار الكاملة إلا لتسهيل التطبيقات، وأما نحن فقد اتخذنا أنصاف الأقواس المضاعفة". وانتهى البتانى إلى الدستور الأساسى للمثلثات الكرية فطبقه غير مرة، ونجد في خط البتانى لأول مرة مبدأ مماس القوس، وتعبير (جيب تمام الجيب) الذى لم يستعمله الإغريق قط، وأدخل البتانى هذا المبدأ إلى حسابات الساعة الشمسية فسماه الظل الممدود، وليس هذا سوى المماس المثلثى عند فهماء الوقت الحاضر. وأضاف "إيرك بل" في كتابه "تطورات الرياضيات": "إن البتانى هوأول عالم أدخل فهم الجبر على فهم حساب المثلثات بدلا من الهندسة كما كان الحال في القديم. ومن أشهر المشتغلين بفهم الرياضيات والمكانيك: أبناء موسى بن شاكر، وقد عالجوا ألوانًا من التأليف طرقت: فهم الحيل، وفهم المثلثات؛ حيث لجأوا إلى طريقة جديدة تعتمد المنحنيات في تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أقسام متساوية، ووضع مقدارين ليتوالى على قسمة واحدة واستخدموا القانون المشهور في عالم المثلثات باسم "قانون هيرون"، وذلك لتقدير مساحة المثلث إذا فهم طول جميع ضلع من أضلاعه.

وقضى أبوالوفاء جل وقته في دراسة مؤلفات البتانى في فهم حساب المثلثات عملق عليها وفسر الغامض منها. ويقول الدكتور "موريس كلاين" عن أبىالوفاء في كتابه "تاريخ الرياضيات من الغابر إلى الحاضر": "إن أبا الوفاء عهد بعض النقط الغامضة في مؤلفات العالم المسلم المشهور البتانى وشرحها". إلى غير ذلك أسهمت الحضارة الإسلامية في إثراء الفكر الرياضى بأهم مقومات تقدمه وازدهاره، وهى العناية بالبحث الفهمى والتطبيقى إلى جانب الدراسات النظرية على أساس فهمى سليم يعتمد على المنهج التجريبى الاستقرائى؛ ولهذا حفل التراث الفهمى الإسلامى بالكثير من النظريات والأفكار الرياضية الأصيلة التى أجمع المؤرخون على أهميتها واعتماد المحدثين عليها. ويقول المحرر "رام لاندو" في كتابه "مآثر العرب في الحضارة": "إن المسلمين قدموا كثيرًا من الابتكارات في حقل الرياضيات، ومع ذلك فإن معظم الأمريكان والأوربيين لم يعودوا يتذكرون من أى مخزن اكتسب العالم المسيحى الأدوات التى لم يكن لتصل الحضارة الغربية إلى مستواها الحالى إلا بها".وظهر من فهماء الرياضيات النابغين مجموعة كبيرة تكمل انجازات السابقين وتبنى عليها ومن هؤلاء: نصير الدين الطوسى ، وكان عالمًا فذًا في الرياضيات والفلك، ويقول "جورج سارتون" في كتابه تاريخ العلوم: " إذا نصير الدين الطوسي يعتبر من أعظم فهماء الإسلام ومن أكبر رياضييهم" فأبدع في فهم الرياضيات بجميع فروعه، ويوضح ذلك الدكتور"موريس كلاين" في كتابه "تاريخ الرياضيات من الغابر حتى الحاضر": "أن نصير الدين الطوسى كان يعهد فهم تامة الأعداد الصم، ويظهر ذلك من بحوثه لمعادلات صماء مثل:

الجذر التربيعى لـ (أ ب) = حاصل ضرب الجذر التربيعى لـ (أ) × الجذر التربيعى لـ (ب)، والجذر التربيعى لحاصل ضرب (أ2) × (ب2) = أب.

كما كانت لديه خبرة جيدة بالدوال الجبرية الصماء، وبالمثلث الكروى القائم الزاوية وهذا يظهر من رسالة "الأشكال الرباعية الأضلاع "، ويقول الدكتور "درك سيهجر" في كتابه "ملخص تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين الطوسى من المفكرين الاوائل في الاعداد التى ليس لها جذور-الأعداد الصم-، ولومنح جميع ذى حق حقه فإنه من الجدير حتى ينطق إنه المبتكر الأول لهذه الأعداد التى لعبت في الغابر دورًا مهمًا ولا تزال لها أهميتها العظمى في الرياضيات الحديثة التى تدرس الآن في جميع أنحاء العالم. واشتهر نصيرالدين الطوسى بفهم حساب المثلثات، فألف فيه كتاب " شكل القطاعات"، وهويحتوى على حساب المثلثات فقط، فنجح بذلك في فصل حساب المثلثات عن فهم الفلك، ويذكر الدكتور "ديفيد يوجين سميث" في كتابه "تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين خط أول كتاب في فهم حساب المثلثات سنه 648هـ نجح فيه نجاحًا تامًا في فصل حساب المثلثات عن فهم الفلك"، ثم أضاف "...إن نصير الدين هوأول من طور نظريات جيب الزاوية الى ما هى عليه الآن مستعملاً في المثلث المستوى". وأوضح البروفيسور "إريك بل" في كتابه "الرياضيات وتطويرها عبر التاريخ": أنه كان لكتاب نصير الدين الطوسي في فهم حساب المثلثات الأثر الكبير في فهماء الرياضيات في الشرق والغرب، بما فيه من الابتكارات الجديدة التى أفادت وطورت هذا الحقل". كما اهتم بالهندسة الفوقية، أوالهندسة الإقليدسية، فنطق البروفيسور "درك سترديك" في كتابه "ملخص تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين الطوسى حاول بكل جدارة حتى يبرهن على الموضوعة الخامسة من موضوعات إقليدس، فكانت محاولته بدء عصر حديث في فهم الرياضيات الحديثة؛ لهذا انصبت عقليته العظيمة على برهانها، وهو: ( حتى مجموع زوايا المثلث تساوى زاويتين قائمتين). وألف نصير الدين الطوسى أكثر من (145) مؤلفا في حقول مختلفة منها: فهم حساب المثلثات، والجبر، والهندسة، والجغرافية، والهيئة، وغيرها منها: منطقة تحتوى على الشكل القطاعى السطحى والنسب الواقعة فيه، والرسالة الشافية عن الشك في الخطوط المتوازية، كتاب تحرير إقليدس، وغيرها؛ ولهذا فإن نصير الدين ترجم ودرس واختصر، وأضاف نظريات جديدة إلى إنتاج من سبقه من فهماء شرقيين وغربيين، فأرسى قواعد إنتاجه الفهمى على تجاربه، وتجارب الآخرين وألوان نشاطهم المتنوعة، كما كان نصير الدين الطوسى موسوعة في العلوم كلها، فألف خطًا كثيرة استفاد منها من تبعه.

المصادر

موسوعة الحضارة الإسلامية