نظام إحداثي كارتيزي
في الرياضيات، يستعمل نظام الإحداثيات الديكارتية لتحديد نقطة في مستوي عبر عددين، يطلق عليهما عادة الإحداثية-س والإحداثية-ص. لتعريف الإحداثيات، نقوم بإسقاط خطين عموديين (محور السينات أوس ومحور الصادات أوص)، كما يجب كذلك تعريف وحدة الطول، والتي نبيّنها على المحورين (انظر الصورة 1).
تستعمل أنظمة الإحداثيات الديكارتية في الفضاء أيضا (باستعمال ثلاث إحداثيات)، أوحتى في أبعاد أكثر.
باستعمال نظام الإحداثيات الديكارتية، يمكن التعبير عن الأشكال الهندسية باستعمال معادلات جبرية، وهي معادلات توافق إحداثيات النقاط الممثّلة للشكل الهندسي. عملى سبيل المثال، يعبّر عن دائرة ذات شعاع مساولـ2، بالمعادلة التالية س² + ص² = 4. (انظر الصورة 2).
سمي النظام بالـديكارتي تبعا للرياضي والفيلسوف الفرنسي ريني ديكارت (كارتيسيوس باللاتينية)، والذي عمل على ادماج الجبر والهندسة الإقليدية. كان هذا العمل حاسما في مجال الهندسة التحليلية ودراسة الدوال والخرائط.
تم تطوير فكرة النظام هذه سنة 1637، في كتابتين مختلفتين لديكارت. في الجزء الثاني من حديث الطريقة، يقدّم ديكارت فكرته الجديدة لتحديد مسقط نقطة أوشكل على المستوي، باستعمال محورين متقاطعين كآداة للقياس. وفي الهندسة، يكشف ديكارت أكثر عن المفاهيم التي تجاوز ذكرها.
نظام الإحداثيات ثنائي الأبعاد
يعرّف نظام الإحداثيات الديكارتي الحديث ذوالبعدين عادة بمحورين، يشكلان مستو(مستوي-س،ص). يعنون المحور الأفقي عادة بـ س، والعمودي بـ ص. أما في النظام ذوالأبعاد الثلاث، يتم إضافة محور ثالث، يسمى عادة ز، مما يضيف بعدا ثالثا للقياس. تتخذ المحاور عادة متعامدة بعضها مع بعض. تسمى المعادلات التي تستخدم الإحداثيات الديكارتية، معادلات ديكارتية.
يسمى تقاطع المحاور، بالنقطة الأصل وتسمى عادة م. يحدد محوري السينات والصادات مستويعهد بمستوى السينات-الصادات. كما يجب اختيار وحدة طول، والإشارة إليها على المحورين، لتشكيل شبكة. لتحديد نقطة ما في نظام ديكارتي ثنائي الأبعاد، حدد إحداثية السين أولا (س) ثم إحداثية الصاد (ص) في شكل زوج مرتّب (س،ص).
على سبيل المثال النقطة أ في الصورة 3، باستعمال الإحداثيات (5،3).
يحدد تقاطع المحورين أربع مناطق، يشار إليها بالأرقام الرومانية I (+,+) وII (−,+) وIII (−,−) وIV (+,−). اتفاقا، ترقم هذه المناطق عكس عقارب الساعة ابتداءا من المنطقة اليمنى العليا. في المنطقة الأولى، تكون كلا الإحداثيتين موجبتين، أما في الثانية، فتكون إحداثية السين سالبة وإحداثية الصاد موجبة، أما في المنطقة الثالثة تكون كلاهما سالبتين، وأخيرا في المنطقة الرابعة تكون إحداثية السين موجبة وإحداثية الصاد سالبة.(انظر الصورة 3).
نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد
يوفّر نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد، الأبعاد الفيزيائية الثلاث : الطول، العرض، الارتفاع. تبيّن الصورتان أربعة و5، طريقتين معتمدتين لعرض نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد.
تكون الإحداثيات في النظام الثلاثي الأبعاد على شاكلة (س،ص، ز). وعلى سبيل المثال، تم تصوير نقطتين في نظام الصورة 4، النقطة أ(3،0،5) والنقطة ب(-5،-5،7).
يمكن كذلك استنتاج إحداثيات الس، والص، والز من الأبعاد عن المستوي ص، ز والمستوي س،ز والمستوي س،ص. تبيّن الصورةخمسة أبعاد النقطة أ عن المستويات.
تقسّم محاور النظام الثلاثي الأبعاد الفضاء إلى ثمان مناطق شبيهة بمناطق النظام ثنائي الأبعاد.
في الفيزياء
ينطبق ما تجاوز على نظام الإحداثيات الديكارتية في الرياضيات، حيث من العادي حتى لا تستعمل أي وحدة للقيس. ولكن، من الضروري حتى نؤكد حتى الأبعاد في الفيزياء هي ببساطة قيس لشيء ما، وأنه قد يحدث من الضروري أيضا إضافة بعد آخر. إذا الأمور متعددة-الأبعاد يمكن حتى نحسبها ونتحكم بها جبريا.
تمثيل متّجه بكتابات ديكارتية
يمكن كذلك التعبير عن نقطة في نظام إحداثيات ديكارتي بمتجه، الذي يمكن تصويره على أنه سهم منطلق من النقطة الأصل ومشير إلى تلك النقطة. إذا كانت الإحداثيات تعبّر عن مواقع فضائية، من المتعارف عليه تصوير المتجه من الأصل إلى النقطة بـ . وباستعمال الإحداثيات الديكارتية يخط المتجه من الأصل إلى النقطة :
حيث و و هي متجهات وحدة تشير إلى نفس اتجاهات محاور الـ و و، على الترتيب.
انظر أيضاً
- مخطط جونز.
- نظام إحداثي
- نظام إحداثي قطبي
هوامش
المصادر
- Brennan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th Ed), Pacific Grove: Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
قراءات إضافية
- Descartes, René, Oscamp, Paul J. (trans) (2001). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 656. ISBN . LCCN 52-11515.
- Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. p. 177. LCCN 55-10911.
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. pp. 55–79. ASIN B0000CKZX7. LCCN 59-14456.
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 94. LCCN 67-25285.
- Moon P, Spencer DE (1988). "Rectangular Coordinates (x, y, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed., 3rd print ed. ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 9-11 (Table 1.01). ISBN .CS1 maint: extra text (link)
وصلات خارجية
- Cartesian Coordinate System
- Printable Cartesian Coordinates
- Cartesian coordinates على بلانيت ماث
- MathWorld description of Cartesian coordinates
- Coordinate Converter – converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
- Coordinates of a point Interactive tool to explore coordinates of a point
