لاتباين وتباين مرافق وتباين معاكس

لاتباين Invariance وتباين مرافق Covariance وتباين معاكس Contravariance هي ثلاثة مفاهيم مترابطة تظهر سوية في الكثير من الحقول بدأ من الإحصاء والاحتمال إلى فروع الفيزياء وغيرها. لذلك يشكل تكوين فكرة واضحة حول هذه المصطلحات أهمية للعديد من هذه العلوم.

مقدمة

لنفترض وجود حوض مائي مملوء بالماء ولنعهد جملة إحداثيات متعامدة (x،y،z)، نستطيع بواسطتها تحديد مسقط جميع نقطة من نقاط الحوض المائي:

نستطيع الآن حتى نحدد درجة الحرارة في جميع نقطة من الوسط المائي عن طريق دالة رياضية : (T(x,y,z. تقوم هذه الدالة بربط عدد حقيقي يمثل درجة الحرارة بالنقطة المحددة بالإحداثيات (x,y,z).

لنفترض الآن أننا قررنا استخدام جملة إحداثيات قطبية (r,phi,theta) بدلا من جملة إحداثيات المكان الديكارتية (x,y,z) : في الحقيقة تمثل هذه الإحداثيات القطبية دوالا لها علاقة بالاحداثيات الديكارتية أوالإحداثيات الخطية الثلاثية. أي حتى هناك علاقات تمكن من استنتاج الاحداثيات القطبية من الاحداثيات الديكارتية (أوبمعنى آخر تحويل أحد الإحداثيات إلى الآخر، وذلك لتسهيل حل مسألة معينة). ونمثل هذه العلاقات أوالدوال كما يلي :

(r(x,y,z و(phi(x,y,z و(theta(x,y,z.

من الواضخ حتى درجة الحرارة هي قيمة لامتباينة invariant، أي أنها غير متغيرة بتغير جملة الإحداثيات التي ينسب لها الوسط المائي. فاذا كانت النقطة (x,y,z) تمثل في نظام الإحداثيات القطبية (r,phi,theta) فإن :

(T (x,y,z) = T (r,phi,theta

وهذا أمر منطقي حيث ان r وphi وtheta هي دوال ل x وy وz.

لنفترض أننا قمنا بتحديد تدرج درجة الحرارة عند جميع نقطة وهوما سنرمز له: (G(x,y,z وهوتعبير عن متجه (رياضيات) موجود في جميع نقطة (x,y,z) ويتحدد بثلاث مركبات متجهه:

G_1(x,y,z) = dT/dx

G_2(x,y,z) = dT/dy

G_3(x,y,z) = dT/dz

أي انها مشتقات جزئية لتابع الحرارة.

لنفترض أننا نريد القيام بتحويل التدرج إلى الاحداثيات القطبية. إذا كان التدرج لامتباينا (لامتغيرا) بالنسبة للتغيرات الإحداثية فمن المتسقط حتى تكون مركباته غير متباينة أيضا في أي نقطة. أي أننا نتسقط ببساطة وجود علاقة:

(G_i(r,theta,phi) = G_i(x,y,z

حيث: i = 1 ،2 ،3

وعندما يتم التحويل باستخدام قواعد التحويل: (r(x,y,z و(phi(x,y,z و(theta(x,y,z.

لكن هذا لا يتعدى كونه تسقط لا يمثل الواقع: لأن مركبات تدرج الحرارة بالنسبة للإحداثيات القطبية:

G_1(r,theta,phi) = dT /d r

G_2(r,theta,phi) = dT /d theta

G_3(r,theta,phi) = dT /d phi

فهي إذا تمثل مشتقات تابع الحرارة بالنسبة للإحداثيات القطبية، وليس بانسبة للإحداثيات الديكارتية.

لذلك نقول حتى مكونات متجه التدرج الحراري في أي نقطة تعتمد على نظام الإحداثيات المعتمد. لكن لحسن الحظ توجد علاقة تربط مكونات التدرج الحراري بالنسبة للإحداثيات القطبية بمكونات التدرج الحراري بالنسبة للإحداثيات الخطية الثلاثية. بعد أخذ مشتقات التوابع التي تربط نوعي الإحداثيات بعين الاعتبار :

dx dy dz

(G_1(r,theta,phi) = -- G_1(x,y,z) + -- G_2(x,y,z) + -- G_3(x,y,z

dr dr dr