اشتقاق عكسي

حقل الميل للدالة ƒ(x) = (x³/3)-(x²/2)-x+c يُظهر ثلاث من عدد لا نهائي من الحلول التي يمكن التوصل إليها باستخدام .

في التحليل الرياضي، المشتق العكسي Antiderivative أوالتكامل غير المحدود Indefinite Integral، أوالدالة الأصلية Primitive Function لدالة حقيقية f هي دالة F مشتقه تساوي : f ، أي حتى F′ = f.

فهرست

القواعد الرياضياتية

يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياتياً بالصيغة:

{\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C

حيث

{\displaystyle F'\!(x)={\frac {d {dx F(x)=f(x)

استُعمل الرمز ${\displaystyle \textstyle \int$ للدلالة على التكامل وهومشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على أعطى الحرف ليصبح بالشكل الذي هوعلية الآن. التعبير F(x) + C هوالاشتقاق العكسي العام للدالة لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إذا سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هوعدم فهم القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.

تشتق قواعد التكامل الغير محدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.

فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت, أي:

{\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx

كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أوالفرق بينهما:

{\displaystyle \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

الطرائق المتنوعة لايجاد التكامل

ليست جميع العمليات أوالقواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تطبيقها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أوقسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهه.

هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:

العلاقة الخطية:

{\displaystyle \int (af(x)+bg(x))\,dx=a\int f(x)\,dx+b\int g(x)\,dx.

التكامل بالتعويض:

{\displaystyle \int _{a ^{b f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a) ^{g(b) f(x)\,dx.

التكامل بالتجزيء:

{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!

التكامل بالنشر نطقب:رئيس يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.

باستخدام مفكوك تايلور

{\displaystyle \int f(x)dx=\int \sum _{n=0 ^{\infty {\frac {f^{(n) (a) {n! \,(x-a)^{n dx=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {f^{(n) (a) {n!(n+1) \,(x-a)^{n+1 +C

باستخدام مفكوك ماكلورين

{\displaystyle \int f(x)dx=\int \sum _{n=0 ^{\infty {\frac {f^{(n) (0) {n! \,x^{n dx=\sum _{n=0 ^{\infty {\frac {f^{(n) (0) {n!(n+1) \,x^{n+1 +C

التكامل بالتحليل العددي:

تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتطبيقه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.

تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:

{\displaystyle \int _{a ^{b f(x)\,dx\approx {\frac {b-a {n \left({f(a)+f(b) \over 2 +\sum _{k=1 ^{n-1 f\left(a+k{\frac {b-a {n \right)\right)

حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (b−a)/n وk = 0, 1, 2, ..., n−1

انظر ايضا

اضتقاق عكسي (تحليل معقد)
تكامل رمزي
قائمة التكاملات

الهامش

وصلات خارجية

Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
Mathematical Assistant on Web — symbolic computations online. Allows to integrate in small steps (with hints for next step (integration by parts, substitution, partial fractions, application of formulas and others), powered by Maxima
Function Calculator from WIMS
Integral
"The Indefinite Integral or Anti-derivative " at the Khan Academy
"Free online integral calculator with step by step solution "