الدالة الرياضية أوالتابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"'. أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"'

ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :

• لكل تابع مجموعة منطلق (أونطاق Domain )غالباً ما تدعى '"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"'.
• لكل تابع مجموعة مستقر (أونطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' .
• لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'.
• يمكن لعنصر من مجموعة المستقر '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' حتى يرتبط بعنصر وحيد أوأكثر من مجموعة المنطلق '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'.

فاذا كان المنطلق (المجال) هومجموعة القيم التي يمكن حتى يأخذها المتغير المستقل x ، فإن المستقر أوالنطاق المرافق (المجال اللقاء) هومجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"'.

المجال اللقاء ( أوالمدى ) Range : هومجموعة القيم العملية للدالة f .

ويفضل عدم الخلط بين المجال والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .

غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التيقد يكون مستقرها '"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"' (الدوال العددية), أو'"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"' (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا جميع ما يحقق التعريف أعلاه.

تعريف

تُعَرّف الدالة عامة بأنها قاعدة د تسمح بلقاءة عناصر من مجموعةٍ س بعناصر تنتمي إلى مجموعةٍ ع. وفي الحساب التفاضلي والتكاملي، يشار غالباً إلى الدالة بقاعدة بسيطة مثل:

د (س) = 2س3 + 5، أومن الممكن بقاعدة أكثر تعقيداً مثل:

في هذين المثالين لم تُذْكَر المجموعتان س، ع صراحة، إذ إنهما تُفتَرضان ضمناً أنهما مجموعة الأعداد الحقيقية ح. بيد أنه عندما يتقدم المرء في دراسته للرياضيات، فإنه يقابل دوال أعم، ويتوصل إلى ضرورة تقديم تعريف عام ودقيق للدالة.

تعريف: الدالة د شيء رياضي له ثلاث نادىمات هي: مجموعتان س، ع، وقاعدة تسمح بلقاءة جميع عنصرٍ س من س بعنصر وحيد ع من ع. تسمى س ساحة domain (أومنطلق set of departure، أومجموعة تعريف set of definition) الدالة د، وتسمى ع مدى range (أومستقر set of arrival، أومجموعة قيم د set of value) الدالة د.

يُعَبّر عادة عن العنصر الوحيد ع اللقاء للعنصر س بالشكل د (س)، ويسمى خيال image س وفق د.

للإشارة إلى الدالة د، التي ساحتها س ومداها ع، غالباً ما يُستعمل الرمز د: س ¬ ع [الذي يُقرأ: «د دالة من س إلى ع»، أو«د دالة من س في ع»]، ثم تُخط قاعدة التقابل بين عناصر س، ع. وعلى سبيل المثال، فإن الرمز

يعني حتى د هي دالة من ح +، مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، إلى ح، مجموعة الأعداد الحقيقية، بحيثقد يكون خيال جميع عدد حقيقي موجب وفقها هوجذره التربيعي. [وينطق غالباً في هذه الحالة إذا د دالة حقيقية real function (لأن مداها ح) لمتغير حقيقي real variable (لأن ساحتها مجموعة جزئية من ح)].

وفي الحالات التي تكون فيها المجموعتان س، ع واضحتين من السياق، يُكْتَفى لكتابة الدالة بإيراد قاعدتها (د (س) = …) من دون ذكرٍ للمجموعتين س، ع. ففي المثال السابق ينطق أحياناً:

«لتكن لدينا الدالة »، أو«لتكن لدينا الدالة »، أوحتى «الدالة ».

تعريف: لتكن الدالة د: س0 ¬ ع، ولتكن س0 مجموعة جزئية من س0 نعهد مقصور restriction د على س (الذي يرمز إليه بـِ د | س0) بأنه الدالة:

د | س0: س0 ¬ ع، حيث د | س0 (س) = د (س) أياً كان س من س0.

وإذا كانت س* مجموعة تحوي تماماً س، فنعهد الممَّدد extension هـ للدالة د إلى  س بأنه الدالة.

هـ: س* ¬ ع، حيث هـ (س) = د (س) أياً كان س من س0. من الواضح حتى هـ دالة مقصورها على س هوالدالة د، وأن من الممكن إيجاد عدة ممدَّدات للدالة د.

مثال: لنأخذ الدالتين

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س2 + س + 1

ط: ح+ ¬ ح، حيث ط(س) = س2 + س + 1

من الواضح حتى ط مقصور د على ح+، [لاحظ حتى الدالتين د، ط مختلفتان على الرغم من تطابق قاعدتيهما، وذلك لأن ساحتيهما مختلفتان. واضح أيضاً حتى د ممدد ط إلى ح. وبافتراض حتى أ عدد حقيقي ما، فإن الدالة:

ك: ح ¬ ح، حيث ك(س)=

س2+س+1

عندما س <0

أ

عندما س ³ 0

هي ممدد أيضاً للدالة ط إلى ح. ولما كان من الممكن حتى يأخذ العدد الحقيقي أ عدداً غير منته من القيم، فإن عدد الممددات التي أوردناها للدالة ط إلى ح غير منتهٍ.

تعريف:

لتكن الدالة  د: س ¬ ع، ولتكن س0 مجموعة جزئية من س. نسمي مجموعة أخيلة عناصر س0 وفق د، ويشار إليه بالرمز د (س0)، أي إن: د (س0) = {د (س): س ' س0 

وعندما تكون د(س0) مجموعة وحيدة العنصر في ع، ينطق إذا د دالة ثابتة constant.

وإذا كانت ع0 مجموعة جزئية من ع، فإنه يُرمز بـ د-1 (ع0) إلى مجموعة جميع عناصر س التي أخيلتها وفق د تقع على ع.

تسمى المجموعة د-1 (ع0) الخيال العكسي، أوالصورة العكسيةinverse image أوcounter image للمجموعة ع0 وفق د. إلى غير ذلك فإن:

د-1 (ع0) = س ' س: د(س) ' ع0{

مثال: لتكن لدينا الدالة

إذا كانت س0 المجموعة الجزئية [2،¥[ من الساحة ح، فيمكن التحقق حتى .

 يمكن التحقق أيضاً أن:

مثال: لتكن الدالة

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = 2س2 + 2

يمكن التحقق أن:

د -1 ([0،5]) = [-1،1]

لاحظ أن:

د -1 ([0،5])) = د ([-1،1]) = [2،5] ¹ [0،5].

تعريف: لتكن د: س ¬ ع، هـ: ع ¬ ص دالتين، نعهد المركَّب composite للدالتين د، هـ بأنه دالة نرمز إليها بالشكل:

هـ o د : س ¬ ص، بحيثقد يكون (هـ o د)(س) = هـ (د(س)).

لاحظ حتى هذا التعريف يقتضي حتى تكون ساحة هـ مساوية خيال الدالة س وفق د.

مثال: مركَّب الدالة

د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س3 + 1، والدالة

هـ: ح ¬ ح، حيث هـ(س) = جب س

هوالدالة:

هـ: ح ¬ ح ،حيث (هـ o د)(س) = جب (س3 + 1)

تعريف: ينطق عن دالة د: س ¬ ع إنها متباينة injective إذا كان الخيالان وفق د لكل زوج من النقاط المتنوعة في س مختلفين. وينطق عن د إنها غامرة surjertive إذا كان جميع عنصر من ع خيالاً وفق د لواحد، على الأقل، من عناصر س. وإذا كانت د متباينة وغامرة، فينطق عنها إنها دالة تقابلية bijective function أوتقابل bijection.

إن كون د دالة متباينة يعتمد على قاعدة د؛ وكونها غامرة يعتمد على مداها أيضاً. ويمكن التوثق من حتى مركَّب دالتين متباينتين دالة متباينة، ومركَّب دالتين غامرتين دالة غامرة. يترتب على هذا حتى مركَّب تقابلين تقابل.

إذا كانت د: س ¬ ع تقابلاً، فمن الممكن تعريف دالتها العكسية inverse function د-1: ع ¬ س كما يأتي: لكل عنصر ع من ع يمكن إيجاد عنصر وحيد س من س، بحيثقد يكون د (س) = ع (س موجود ووحيد لأن د غامرة ومتباينة)؛ وهذا العنصر هوخيال ع وفق د-1، أي حتى د-1 (ع) = س. إلى غير ذلك فإن المعادلة س= د-1(ع) هي نتيجة حل المعادلة ع = د (س) للحصول على س. ومن الممكن التحقق أنه إذا كانت د تقابلاً، فإنَّ د-1 تقابل أيضاً.

مثال: الدالة د: ح ¬ ح، حيث د(س) = س2 ليست متباينة ولا غامرة. مقصورها هـ على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة دالة متباينة، لكنها ليست غامرة. والدالة ، الناتجة من تغيير مدى د، غامرة وليست متباينة. أما الدالة الناتجة من د بتغيير جميع من ساحتها ومداها، فهي متباينة وغامرة، أي أنها تقابل، ومن ثم لها دالة عكسية هي:

تسمى د-1 هذه دالة الجذر التربيعي.

تُستعمل في التحليل الرياضي دوال حقيقية أعم من الدوال الحقيقية لمتغير واحد (التي تنتمي إليها جميع الدوال التي أوردناها في الأمثلة السابقة). هذه الدوال هي الدوال الحقيقية لعدة متغيرات، أي الدوال الحقيقية التي ساحتها ح ن، حيث ن £2 ونعني بالرمز ح ن الجداء الديكارتي: ح × ح × ح × ....× ح الذي عدد مضاريبه ن . فمثلاً الدالة التالية:

د: ح2 ¬ ح،

هي دالة حقيقية لثلاثة متغيرات.

وثمة دوال أعم تُستعمل في التحليل الرياضي أيضاً هي الدوال المتجهية لعدة متغيرات

functions of several variables vector- valued، وهي دوال ساحتها ح ن ومداها ح ط،

حيث ن £ 2، ط £2. وكمثال على هذه الدوال نورد الدالة:

د: ح3 ¬ ح3،

بيد أنه سيُكتفى في هذا البحث بتقديمٍ سريعٍ وموجزٍ للأنماط المتنوعة من الدوال الحقيقية لمتغير حقيقي واحد.

أنواع الدوال

تقسم هذه الدوال عادة إلى قسمين: دوال ابتدائية، ودوال غير ابتدائية.

الدوال الابتدائية elementary functions

تقسم هذه الدوال إلى قسمين: دوال جبرية، ودوال متسامية.

أولاً: الدوال الجبرية algebraic functions، وهي تلك التي يرتبط فيها المتغير س بالدالة ع = د (س) بمعادلة جبرية من النمط:

حيث: أ0، أ1،...،أن أعداد حقيقية، نم، طم أعداد سليمة غير سالبة، ك عدد سليم موجب. وعلى سبيل المثال: فإن المعادلة:

3س2ع5 – 8س ع + س3 -1 =0

معادلة جبرية. وإذا كان من الممكن حل المعادلة (*) جبرياً بالنسبة إلى ع، فإن كلاً من حلولهاقد يكون إحدى الدوال الجبرية التالية:

1ـ الدالة السليمة integral function:

ع (د) (س) = أ0 سن + أ1 سن-1 + ... + أن-1 س + أن

2ـ الدالة الكسرية fractional function:

شريطة حتى تكون ساحة هذه الدالة المجموعة ح مطروحاً منها مجموعة قيم س التي تعدم المخرج.

3ـ دالة القوة power function:

ع = (د) س = س λ

حيث λ عدد حقيقي ثابت. فإذا كان λ عدداً سليماً، فإن هذه الدالة تصبح دالة سليمة أوكسرية أوثابتة. أما إذا كان λ كسراً، فإن الدالة تصبح دالة جذرية كالدالة:

ساحة هذه الدالة هي ح إذا كان ن عدداً سليماً فردياً، و

إذا كان ن زوجياً، وأخيراً إذا كان λ عدداً أصم irrational، فيفترض حتى الساحة هي ح+

(أو إذا كان λ >.).

ثانياً: الدوال المتسامية transcendental functions، وهي تلك التي لا يمكن حتى يرتبط فيها المتغير س بالدالة ع (د (س)) بمعادلة جبرية من النمط (*) الذي ورد آنفاً. وأبسط أنماط هذه الدوال (الابتدائية المتسامية) هي:

1ـ الدالة الأسّيّة exponential fuction:

ع (د (س)) = بس

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.

2ـ الدالة اللغاريتمية logarithmic function:

ع (د (س)) = لعب س

حيث ب عدد موجب لا يساوي الواحد.هذا وإن ساحة هذه الدالة هي ح+.

3ـ الدوال المثلثاتية trigonometric functions:

ع = جب س، ع = تجب س، ع = ظل س، تظل س

ع = قا س، ع = تقا س

إن ساحة الدالتين جب، تجب هي ح، أما ساحة الدالتين ظل، قا فهي:

أما ساحة الدالتين تظل، تقا فهي:

ح – {ك p: ك عدد سليم

وإن الدوال العكسية لهذه الدوال، وهي الدوال التي يُشار إليها بالرموز

ع = قوس جب س، ع= قوس تجب س، ع = قوس ظل س

ع = قوس تظل س، ع= قوس قا س، ع = قوس تقا س

على الترتيب، هي دوال أولية أيضاً.

وتجدر الإشارة إلى حتى المركَّب لعددٍ منتهٍ من الدوال الجبرية والمتسامية هودالة أولية.

وعلى سبيل المثال، فإن الدالة لع جب س هي دالة أولية.

الدوال غير الابتدائية nonelementary functions

وهي الدوال المغايرة للدوال الابتدائية. ومن أبرز هذه الدوال تلك التي يعبر عنها بعدة صيغ تحليلية، أوبمتسلسلات أوجداءات غير منتهية، أوبتكاملات مُعرّفة definite integrals تابعة لوسيط، أوبمعادلات تفاضلية لا يمكن التعبير عن حلولها بشكل ترابيع quadratures.

أمثلة على دوال غير أولية:

ـ دالة القيمة المطلقة لِـ س، وهي دالة ، حيث:

د (س) =

- س

عندما س ³ 0

س

عندما س £0

ويشار وعادة إلى هذه الدالة بالرمز د (س) = |س|

ـ دالة الإشارة signum function

ع = د (س) =

- 1

عندماقد يكون س > 0

0

عندماقد يكون س =0

+1

عندماقد يكون س < 0

ـ الدالة

ـ الدالة ع = د (س) التي تمثل حل المعادلة التفاضلية:

س2 عً + س عَ + (س2-1)ع = 0

ـ الدالة د (س) التي تمثل مجموع المتسلسلة (المتقاربة)

أمثلة

لنأخذ الدالة : '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'

أي حتى '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'

بأخد '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"' نخط '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'، هنا بالتعهد أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'. عندئذ نجد حتى العنصر'"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"' من المنطلق يرتبط بالعنصر '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"' من المستقر فقط. العنصر '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"' من المنطلق (أوالمجال)'"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"' يرتبط بالعنصر '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"' فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' من المستقر حتى يرتبط بعنصرين '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"' و'"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"' من المنطلق في حين حتى أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .

باللقاء

'"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"'

ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعددتسعة قد يحتمل قيمتين هما ثلاثة و-3. لهذا، إذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب حتى نحدد أي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

'"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هوالجذر التربيعي الموجب.

مجال الدالة

إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل س ( تسمى المجال أوالنطاق أوالمنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل ص (تسمى المجال اللقاء أوالمستقر أوالنطاق المرافق)، هواقتران من المجموعة س إلى المجموعة ص، والمقصود رياضيا بالاقتران هو(دالة أوتابع أوتطبيق أومدى)، وللاقتران أوالدالة ثلاث مكونات: مجال(منطلق)، ومجال لقاء (مستقر)، وقاعدة تربط أي عنصر من عناصر المجال (منطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر المجال اللقاء (المستقر). والمجموعة الجزئية من المجال اللقاء التي تتكون من جميع صور عناصر المجال تسمى مجال الدالة أو(مدى الاقتران). أي حتى مجال الدالة أومدى الاقتران هومجموعة جزئية من المجال اللقاء للاقتران. فمثلا : ص = د(س) = 7س + 9.

وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (اقتران مركب)، والدالة التحليلية (اقتران تحليلي) ، والدالة الثابتة (اقتران ثابت)، والدالة المستمرة (اقتران متصل)، والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)، والدالة الضمنية (اقتران ضمني)، والدالة الأسية (اقتران أسي)، والدالة الزوجية (اقتران زوجي)، والدالة الصريحة (اقتران صريح)، والدالة المتطابقة (اقتران محايد)، والدالة الفردية (اقتران فردي)، والدالة العكسية (اقتران عكسي)، والدالة الكاملة (اقتران شامل).

تاريخ

تمت صياغة المصطلح "function" باللغة الإنكليزية من قبل العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.

تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.

أنظر أيضاَ

ملاحظات

المصادر

• الموسوعة العربية
• Anton, Howard (1980), Calculus with Analytical Geometry, Wiley, ISBN 978-0-471-03248-9 
• Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-05464-1 
• Husch, Lawrence S. (2001), Visual Calculus, University of Tennessee, http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/, retrieved on 2007-09-27 
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company .
• Ponte, João Pedro (1992), "The history of the concept of function and some educational implications", The Mathematics Educator 3 (2): 3–8, http://www.math.tarleton.edu/Faculty/Brawner/550%20MAED/History%20of%20functions.pdf 
• Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1995), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-53174-9 
• Youschkevitch, A. P. (1976), "The concept of function up to the middle of the 19th century", Archive for History of Exact Sciences 16 (1): 37–85, doi:10.1007/BF00348305 .
• Monna, A. F. (1972), "The concept of function in the 19th and 20th centuries, in particular with regard to the discussions between Baire, Borel and Lebesgue", Archive for History of Exact Sciences 9 (1): 57–84, doi:10.1007/BF00348540 .
• Kleiner, Israel (1989), "Evolution of the Function Concept: A Brief Survey", The College Mathematics Journal (Mathematical Association of America) 20 (4): 282–300, doi:10.2307/2686848 .
• Ruthing, D. (1984), "Some definitions of the concept of function from Bernoulli, Joh. to Bourbaki, N.", Mathematical Intelligencer 6 (4): 72–77 .
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, Mathematical Association of America, ISBN 0883850818 .
• Malik, M. A. (1980), "Historical and pedagogical aspects of the definition of function", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 11 (4): 489–492, doi:10.1080/0020739800110404 .
• Boole, George (1854), An Investigation into the Laws of Thought on which are founded the Laws of Thought and Probabilities, Walton and Marberly, London UK; Macmillian and Company, Cambridge UK. Republished as a googlebook.
• Eves, Howard. (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics: Third Edition, Dover Publications, Inc. Mineola, NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk) 
• Frege, Gottlob. (1879), Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle 
• Grattan-Guinness, Ivor and Bornet, Gérard (1997), George Boole: Selected Manuscripts on Logic and its Philosophy, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-7643-5456-9 (Berlin...) 
• Halmos, Paul R. (1970) Naive Set Theory, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90092-6.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics, Cambridge University Press (published 1993), ISBN 978-0-521-09227-2 
• Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 0-486-24004-5.
• Russell, Bertrand (1903) The Principles of Mathematics: Vol. 1, Cambridge at the University Press, Cambridge, UK, republished as a googlebook.
• Russell, Bertrand (1920) Introduction to Mathematical Philosophy (second edition), Dover Publishing Inc., New York NY, ISBN 0-486-27724-0 (pbk).
• Suppes, Patrick (1960) Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc, New York NY, ISBN 0-486-61630-4. cf his Chapter 1 Introduction.
• Tarski, Alfred (1946) Introduction to Logic and to the Methodolgy of Deductive Sciences, republished 1195 by Dover Publications, Inc., New York, NY ISBN 0-486-28462-x
• Venn, John (1881) Symbolic Logic, Macmillian and Co., London UK. Republished as a googlebook.
• van Heijenoort, Jean (1967, 3rd printing 1976), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk)
  • Gottlob Frege (1879) Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought with commentary by van Heijenoort, pages 1–82
  • Giuseppe Peano (1889) The principles of arithmetic, presented by a new method with commentary by van Heijenoort, pages 83–97
  • Bertrand Russell (1902) Letter to Frege with commentary by van Heijenoort, pages 124–125. Wherein Russell announces his discovery of a "paradox" in Frege's work.
  • Gottlob Frege (1902) Letter to Russell with commentary by van Heijenoort, pages 126–128.
  • David Hilbert (1904) On the foundations of logic and arithmetic, with commentary by van Heijenoort, pages 129–138.
  • Jules Richard (1905) The principles of mathematics and the problem of sets, with commentary by van Heijenoort, pages 142–144. The Richard paradox.
  • Bertrand Russell (1908a) Mathematical logic as based on the theory of types, with commentary by Willard Quine, pages 150–182.
  • Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering, with commentary by van Heijenoort, pages 183–198. Wherein Zermelo rails against Poincaré's (and therefore Russell's) notion of impredicative definition.
  • Ernst Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I, with commentary by van Heijenoort, pages 199–215. Wherein Zermelo attempts to solve Russell's paradox by structuring his axioms to restrict the universal domain B (from which objects and sets are pulled by definite properties) so that it itself cannot be a set, i.e., his axioms disallow a universal set.
  • Norbert Wiener (1914) A simplification of the logic of relations, with commentary by van Heijenoort, pages 224–227
  • Thoralf Skolem (1922) Some remarks on axiomatized set theory, with commentary by van Heijenoort, pages 290–301. Wherein Skolem defines Zermelo's vague "definite property".
  • Moses Schönfinkel (1924) On the building blocks of mathematical logic, with commentary by Willard Quine, pages 355–366. The start of combinatory logic.
  • John von Neumann (1925) An axiomatization of set theory, with commentary by van Heijenoort , pages 393–413. Wherein von Neumann creates "classes" as distinct from "sets" (the "classes" are Zermelo's "definite properties"), and now there is a universal set, etc.
  • David Hilbert (1927) The foundations of mathematics by van Heijenoort, with commentary, pages 464–479.
• Whitehead, Alfred North and Russell, Bertrand (1913, 1962 edition), Principia Mathematica to *56, Cambridge at the University Press, London UK, no ISBN or US card catalog number.

وصلات خارجية

مشاع الفهم فيه ميديا متعلقة بموضوع Functions.

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Comprehensive web-based function graphing & evaluation tool.
• FunctionGame, an educational interactive function guessing game.