نظرية الزمر (Group Theory) هوفرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الزمر Groups وخواصها, كما تعد من أبرز البنى الجبرية, وتدرس الخواص الجبرية للعمليات الرياضية, وتاريخياً يعد مفهوم الزمرة أول الأمثلة على البنى الجبرية المجردة التي أصبحت فيما بعد أحد أسس فهم الرياضيات .

الزمرة والزمرة الجزئية

نقول عن المجموعة غير الخالية ${\displaystyle G$ المزودة بقانون تشكيل داخلي (.) أنها زمرة إذا حققت الشروط التالية:

القانون ( ${\displaystyle .$ ) تجميعي على ${\displaystyle G$ أي : ${\displaystyle \forall a,b,c\in G;(a.b).c=a.(b.c)$ .
يوجد في ${\displaystyle G$ عنصر ${\displaystyle e$ يحقق ${\displaystyle \forall a\in G;a.e=e.a=a$ نسمي العنصر ${\displaystyle e$ العنصر الحيادي في ${\displaystyle G$ .
يوجد لكل عنصر ${\displaystyle a\in G$ عنصر ${\displaystyle b\in G$ يحقق ${\displaystyle a.b=b.a=e$ نسمي العنصر ${\displaystyle b$ مقلوب ${\displaystyle a$ ونرمز له بــ ${\displaystyle a^{-1$ .

الزمر

الزمرة الدوارة

الزمرة ${\displaystyle G\,$ دوارة أودائرية إذا عثر ${\displaystyle a\in G\,$ بحيث ${\displaystyle G=<a>\,$ , وعندها تكون الزمرة ${\displaystyle G\,$ مولدة بالعنصر ${\displaystyle a\,$ , وندعوالعنصر ${\displaystyle a\,$ مولداً للزمرة ${\displaystyle G\,$ .