المقدمة

إنّ الهدف من هذا المشروع هوإبراز الارتباط الوثيق بين مادتي التبولوجيا والجبر. حيث درسنا فيه حلقة التوابع الحقيقة المستمرة والفهم على فضاء تبولوجي منتظم تماماً وهاوسدورف. فإذا كان X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف وإذا كانت C(X) حلقة التوابع الحقيقة والمستمرة والفهم على X, فإنّ المثالية Ck(X) المؤلفة من عناصر C(X) التي تملك نادىمة متراصة في الفضاء X أثارت اهتمام الكثير من الباحثين في الجبر والتبولوجيا مثل Kaplansky 1947 وGillman et – al 1976 وNatsheh et – al 1991 وعماد أبوأصبع في رسالة دكتوراه نوقشت في الجامعة الأردنية عام 1991. في مشروعنا هذا نلقي الضوء على بعض أبرز النتائج التي توصل إليها هؤلاء الباحثون في هذا الموضوع مضيفين إلى ذلك بعض الأمثلة والتوضيحات التي نراها ضرورية. وقد قسمنا المشروع إلى فصلين:

- في الفصل الأول: درسنا البنية الجبرية والتبولوجيا للمجموعة C(X) حيث بينّا في الفقرة الأولى من هذا الفصل بنية الحلقة C(X) وقدمنا التعاريف والأوليات اللازمة للفصول اللاحقة. وفي الفقرة الثانية درسنا بنية المثالية Ck(X) من خلال تقديم بعض المبرهنات الأساسية التي تعطي صفات جبرية لهذه المثالية وذلك لبعض الفضاءات X الشهيرة. مثل الفضاء العادي لـ R والفضاء العادي للأعداد الكسرية و... . - في الفصل الثاني درسنا الفضاء الجزئي XL والمثالية Ck(X) . حيث درسنا في الفقرة الأولى من هذا الفصل البنية التبولوجيا للفضاء XL مع عرض بعض المبرهنات عن هذا الفضاء ودوره في دراسة الصفات الجبرية للمثالية Ck(X). وفي الفقرة الثانية درسنا الشروط اللازمة والكافية حتى تكون المثالية Ck(X) نقية في الحلقة C(X). وفي الفقرة الثالثة درسنا الشروط اللازمة والكافية حتى تكون Ck(X) مثالية أولية

الملخص

ليكن X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف, ولتكن C(X) مجموعة التوابع الحقيقة المستمرة علىX. من المعلوم أنّ C(X) تشكل تحت عمليتي الجمع والضرب التاليتين: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) حلقة تبديلية واحدية. في هذا المشروع درسنا المثالية Ck(X) المؤلفة من عناصر C(X) التي تملك نادىمة متراصة في الفضاء X. وأعطينا بعض الخواص الجبرية لهذه المثالية معتمدين على الفضاء XL الجزئي من X والمؤلف من جميع النقط من X والتي تملك مجاورة متراصة.

لقد أوضحنا أنّ: XL = .

وأنّ المثالية Ck(X) تكون نقية ⇔

كما أوضحنا أنّ: المثالية Ck(X) أولية ⇔ BX = X ∪ {∞ وتكون BF – نقطة.

إلى غير ذلك ربطنا في هذا المشروع بين المفاهيم التبولوجيا والمفاهيم الجبرية.

الفصل الأول: البنية الجبرية والتبولوجيا لـ C(X)

تمهيد: إنّ جميع الحلقات التي سترد في هذا البحث هي حلقات تبديلية. وإنّ جميع الفضاءات التبولوجيا ستكون فضاءات هاوسدورف ومنتظمة تماماً Completely Regular ، ونذكر القارئ بأنّ الفضاء التبولوجي (E ،t ) يسمى فضاء منتظم تماماً إذا حقق الشرط التالي: لكل مجموعة مغلقة F ولكل x ∉ F من (E ،t ) يوجد تابع مستمر: F: (E ،t ) → (I ، t u ) : I = [ 0 ، 1 ] بحيثقد يكون: f(x) = 1 و f(F) = 0 . كما ونقول عن فضاء تبولوجي (E ،t ) أنّه فضاء هاوسدورف إذا حقق الشرط الآتي: لكل x ≠ y من E توجد Tx وTy من t بحيث x ∈ Tx وy ∈ Ty وTx ∩ Ty = Ø .

1. § - الحلقة C(X)

ليكن X فضاءً تبولوجياً منتظماً تماماً وهاوسدورف, نعهد المجموعة C(X) كما يلي: { f مستمر وC(X) = { f, f: X → R . نعهد على المجموعة C(X) العمليتين الداخليتين: الجمع (+) والضرب ( . ) كما يلي: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) لكل f وg من C(X) ولكل x من X . عندئذ نجد بسهولة أنّ ( . ، + ، C(X) ) تشكل حلقة تبديلية واحدية صفرها هوالتابع: O: X → R المعهد بالشكل: O(X) = 0 . وعنصرها الحيادي بالنسبة للضرب هوالتابع: 1: X → R المعهد بالشكل: 1(x) = 1 . سنرمز بـ C*(x) لمجموعة التوابع المحدودة من C(X), ويمكن حتى نرى بسهولة أنّ: C*(x) تشكل حلقة جزئية من C(X) .

تعاريف 1.1 : إذا كان f عنصراً من C(X) فإننا نعهد ما يلي: •f + ( f موجب) وهوالتابع f + : X → R المعهد بـ:

• f - ( fسالب) وهوالتابع f - : X → R المعهد بـ:

• صفرية f ونرمزها Z(f) وهي المجموعة: Z(f) = { x ∈ X : f(x) = 0 = f -1(0) • متمم صفرية f ونرمزها coz(f) ، وهي المجموعة: coz(f) = X \ Z(f) . • نادىمة f ونرمزها supp f وهي المجموعة:

• موجبة f ونرمزها pos f وهي المجموعة: pos f = coz(f +) = { x ∈ X : f(x) > 0 • سالبة f ونرمزها neg f وهي المجموعة: neg f = coz(f -) = { x ∈ X : f(x) < 0 • صفرية X ونرمزها Z(X) وهي المجموعة: Z(X) = { Z(f) ; f ∈ C(X) .

تعاريف 2.1 : إذا كانت I مثالية من الحلقة C(X) فإننا نعهد: صفرية I ونرمزها Z(I) وهي المجموعة: Z[ I ] = { Z(f) ; f ∈ I . متممة صفرية I ونرمزها coz [ I ] وهي المجموعة:

coz [ I ] = نقول عن I أنّها Z – مثالية إذا تحقق الشرط التالي: Z(f) ∈ Z(I) ⇒ f ∈ I

ونقول عن I إنّها مثالية ثابتة ( Fined Ideal) إذا كان: Ø .

ونقول عن I إنّها مثالية حرة ( Free Ideal) إذا لم تكن ثابتة.

مبرهنة 3.1 : إذا كان f وg ∈ C(X) فإنّ: 1) Z(f . g) = Z(f) ∪ Z(g) 2) Z(f 2 + g2) = Z(f) ∩ Z(g)

3)

البرهان: 1) f(x)g(x) = 0 ⇔ (f.g)(x) = 0 ⇔ x ∈ Z(f.g) x ∈ Z(g) أوx ∈ Z(f) ⇔ g(x) = 0 أوf(x) = 0 ⇔ Z(f) ∪ Z(g) ∋ x ⇔ 2) (f 2 + g2)(x) = 0 ⇔ x ∈ Z(f 2 + g2) g(x) = 0 و f(x) = 0 ⇔ f 2(x) + g2(x) = 0 ⇔ Z(f) ∩ Z(g) ∋ x ⇔ Z(g) ∋ x وZ(f) ∋ x ⇔ 3) لنضع

ولتكن x  ∈ Z(f)  ⇐ f(x) = 0  ⇐ |f(x) = 0| < 1/n من أجل جميع 

n ∈ N ومنه x ∈ H ومنه Z(f) ∈ H بالعكس: x ∈ H ⇐ |f(x)| < 1/n ومنه f(x) < 1/n > 1/n- من أجل جميع n ∈ N أي أنّ f(x) = 0 تنتمي إلى المجال السابق من أجل جميع n ∈ N ومنه x ∈ Z(f) ومنه H ⊆ Z(f) وبالتالي H = Z(f) .

ملاحظة 4.1 : يوجد كثير من الفضاءات التبولوجيا الهامة، غير متراصة, ولكن يمكن بسهولة إنشاء فضاءات متراصة بحيثقد يكون فيها الفضاء غير المتراص مجموعة كثيفة. فإذا كان E فضاء غير متراص وأنشأنا فضاءً متراصاً H بحيث أنّ E مجموعة كثيفة في H فإننا نسمي H بالتوسيع المتراص لـ E (Compactification of E) وأبسط أنواع التوسيعات المتراصة لفضاء E هوالذي نسميه التوسيع المتراص بنقطة واحدة one point compactification والذي نحصل عليه كما يلي: إذا كان E فضاء غير متراص فإننا نأخذ نقطة a ∉ E ونضع:H = E ∪ {a ونعهد تبولوجيا على H كما يلي: أسرة المجموعات المفتوحة في H تتألف من أسرة المجموعات المفتوحة في E مضافاً إليها جميع المجموعات u الجزئية من H بحيث أنّ H \ u مغلقة ومتراصة في E . يبرهن على أنّ H مع هذه الأسرة من المجموعات تشكل فضاء تبولوجياً متراصاً وأنّ E مجمعة كثيفة في H . - يوجد أنوع أخرى من التوسيعات المتراصة, أحدها هوتوسيع Store – cech الوارد في المبرهنة التالية:

مبرهنة 5.1 ( المرجع (1)):

 جميع فضاء تبولوجي X يملك توسيعاً متراصاً BX يحقق الخواص المتكافئة التالية:

1) لكل تابع مستمر في X في فضاء متراص Y يوجد تمديد مستمر من BX فيY 2) لكل تابع f من C*(X) يوجد تمديد f B من C(BX) . 3) لكل مجموعتين صغريتين في X لصاقتين منفصلتين في BX . 4) لكل مجموعتين صغريتين Z1 وZ2 في Xقد يكون:

       في BX .

وبالإضافة إلى ذلك فإنّ BX وحيد بالمعنى التالي: إذا كان T توسيع متراص لـ X يحقق واحداً من الشروط الواردة أعلاه فإنّه: يوجد هوميومورفيزم من BX على T بحيث يهجر نقط X تمضى إلى نفسها.

• ) نسمي التوسيع المتراص BX الوارد في المبرهنة السابقة بتوسيع ستون – سيش.

تعريف 6.1 : لتكن p ∈ BX سنضع: M*p = { f ∈ C*(X) : f B(p) = 0 M p = { f ∈ C(X) : p ∈ ، ( p ∈ X ⇔ ثابتة Mp ) O p = { f ∈ C(X) : p ∈ وإذا كانت K ⊆ BX فإنّ: OK = وإذا كان f ∈ C(X) فإننا نعهد f * بـ :

وسنضع ( أي أنّ هوالتمديد المستمر لـ f * على BX ) مبرهنة 7.1 : 1) إنّ المثاليات الأعظمية في الحلقة C*(X) هي تماماً المجموعات M*p . 2) إنّ المثاليات الأعظمية في الحلقة C(X) هي تماماً المجموعات Mp

    وإذا كانت p ∈ X   فإنّ: Mp = { f ∈ C(X) : f(p) = 0     .

3) إذا كانت p ∈ BX فإنّ { O p = { f ∈ C(X) : p ∈

    O p هي تقاطع جميع المثاليات الأولية في C(X) المحتواة في Mp .

مبرهنة 8.1 : لكل مثالية أولية في الحلقة C(X) محتواة في مثالية أعظمية وحيدة. أي أنّ C(X) هي حلقة جيلفاند Gelfand .

تعاريف 9.1

- نقول عن نقطة p من X إنّها p – نقطة إذا كان: O p = M p - نقول عن فضاء تبولوجي X إنّه p – فضاء إذا كان: O p = M p لكل p ∈ X . - نقول عن نقطة P ∈ BX إنّها BF – نقطة إذا كانت Op مثالية أولية في C(X). - نقول عن فضاء تبولوجي X إنّه F – فضاء إذا كانت O p مثالية أولية في C(X) لكل p ∈ BX .

تعريف 10.1

لتكن R حلقة ولتكن X مجموعة جميع المثاليات الأولية في R . ولتكن E ⊆ R . سنضع V(E) = { p ∈ X : E ⊆ R .

مبرهنة 11.1

لتكن R حلقة ولتكن X مجموعة جميع المثاليات الأولية في R . عندئذ: t = { V(E) : E ⊆ R تشكل تبولوجيا على X . ونسمي الفضاء: (t ، X) بالطيف الأولي للحلقة R ونرمز له بـ Spec(R) وإذا كانت Max(R) مجموعة جميع المثاليات الأعظمية في R فإنّ Max(R) تشكل فضاءً جزئياً من Spec(R) .

مبرهنة 12.1 (المرجع(1)): لكل فضاء تبولوجي X لدينا: 1) C*(X) إيزومورف لـ C(BX) . 2) BX هوميومورف لـ Max(C(X)) . ◙ بعض المفاهيم النظرية عن الحلقات والتبولوجيا

تعريف 13.1 : لتكن R حلقة ما. نقول عن عنصر a ∈ R إنّه جامد إذا كان: a2 = a. سنضع Ann(a) = { b ∈ R : ab = 0 وسنسميها عادمة a. وإذا كانت I مثالية في R فإنّ: Ann(I) = { a ∈ R : ab = 0 ;  b ∈ I ونسميها عادمة I .

مبرهنة 14.1 (المرجع): لتكن I مثالية في حلقة واحدية R عندئذٍ: I عامل مباشر في R ⇔ I مولدة بعنصر جامد

تعريف 15.1 : نقول عن أسرة مجموعات U من فضاء تبولوجي X أنّها منتهية محلياً إذا كان جميع x ∈ X يملك مجاورة تتقاطع فقط مع عدد منته من عناصر U .

مبرهنة 16.1 : إذا كانت { A ∋ α : Aα أسرة منتهية محلياً عندئذٍ: 1) { A ∋ α : α تكون منتهية محلياً. 2)

مبرهنة 17.1 : إذا كانت u مجموعة جزئية مفتوحة من فضاء تبولوجي X وكانت A ⊆ X عندئذ:

2. § - المثالية Ck(X) في الحلقة C(X)

تعريف 1.2 : سنضع: { f يملك نادىمة متراصة في الفضاء X و Ck(X) = { f : f ∈ C(X) أي أنّ Ck(X) هي مجموعة جميع التوابع في C(X) والتي تملك نادىمة متراصة.

مبرهنة 2.2 : إذا كان X متراصاً فإنّ Ck(X) = C(X) وإلا فإنّ Ck(X) هي مثالية عملية في C(X) وفي C*(X) . البرهان: إذا كان X متراصاً فعندئذٍ جميع مجموعة جزئية مغلقة منه تكون متراصة, ولذلك فإنّه من أجل جميع f ∈ C(X) فإنّ: supp f متراصة. إذاً:

Ck(X) = C(X). - الآن إذا كان X فضاء غير متراص فعندئذً عنصر الواحدة في الحلقة C(X) ليس له نادىمة متراصة لأنّ supp 1 = X أي أنّ 1 ∉ Ck(X) وبالتالي Ck(X) عملية . الآن نبرهن أنّ Ck(X) مثالية من C(X) . ليكن f وg ∈ Ck(X) عندئذ: Z(f) ∩ Z(g) ⊆ Z(f – g) ، وكذلك coz(f – g) ⊆ coz(f) ∪ coz(g) وبالتالي

حيث أنّها متراصة: (لأنّ الاتحاد المنتهي لمجموعات متراصة هومجموعة متراصة) إلى غير ذلك فإنّ: Ck(X) f – g ∈ كون supp(f-g) مجموعة جزئية مغلقة من مجموعة متراصة supp f ∪ supp g - الآن ليكن f ∈ Ck(X) وh ∈ C(X) عندئذٍ: Z(f.g) = Z(f) ∪ Z(g) حيث coz(f h) = coz f ∩ coz h ⊆ coz f إلى غير ذلك supp(fh) ⊆ supp f ولذلك تكون متراصة ومن هنا fh ∈ Ck(X) إلى غير ذلك Ck(X) مثالية من C(X) . ويتم البرهان إذا أثبتنا بأنّ Ck(X) ⊆ C*(X) : ليكن Ck(X) ∋ f عندئذٍ: f1 = f/supp f قد يكون تابعاً ذا قيم حقيقية مستمر معهد على مجموعة متراصة.إلى غير ذلك f1 محدود إذن f محدود إلى غير ذلك Ck(X) ⊆ C*(X) #

مبرهنة 3.2 : المثالية Ck(X) هي Z – مثالية. البرهان: تبين المبرهنة (2.2) بأنّ Ck(X) مثالية. لتكن g ∈ C(X) بحيث أنّ Z(g) = Z(f) من أجل أحد العناصر f ∈ Ck(X) من هنا coz g = coz f ولذلك supp g = supp f متراص وبالتالي g ∈ Ck(X) #

في الأمثلة التالية نميز المثالية Ck(X) في بعض الفضاءات X .

أمثلة 4.2 :

مثال 4.2.1: ليكن R الفضاء الحقيقي مع التبولوجيا العادية { ما عدا على مجموعة محدودة Ck(X) = { f ∈ C(R) : f = 0 هذه سليمة لأنّ المجموعات المتراصة في R هي المجموعات المحدودة المغلقة. في الواقع نستطيع حتى نعمم هذا إلى Ck(Rn) .

مثال 4.2.2: لتكن N مجموعة الأعداد الطبيعية مع التبولوجيا المتبترة ( المنفصلة ) عندئذٍ: { ما عدا على مجموعة منتهية Ck(N) = { f ∈ C(N) : f = 0 لكون المجموعات متراصة في p - فضاء هي المجموعات المنتهية.

مثال 4.2.3: لتكن Q فضاء الأعداد العادية كمجموعة جزئية من R مع التبولوجيا العادية. {0) = Ck(Q) كون أنّه إذا كان f ∈ C¬k¬(Q) فإنّ supp f مجموعة متراصة في Q ولذلك هي متراصة في R ، وهذا يقتضي حتى تكون supp f مجموعة مغلقة في R ولذلك توجد مجموعة مفتوحة u في R بحيث أنّ: coz f = u ∩ Q ⊆ supp f إلى غير ذلك فإنّ: ( كونها مغلقة في R) لكن في R ومنه يوجد مجال مفتوح (a ، b) بحيث وهذا يؤدي إلى تناقض إلا إذا كان: Ø = u إلى غير ذلك 0 = f ومنه {0 = Ck(Q) .

مبرهنة 5.2 : Ck(X) مثالية عملية حرة ⇔ X متراص محلياً وليس متراص (انظر Gillman et - al . 1976 )

البرهان: ⇐ لنفرض أنّ Ck(X) مثالية عملية حرة, ومنه X ليس متراص وإلا Ck(X) يفترض أن لن يحتوي أي مثالية حرة (Ck(X) عملية ⇐ X ليس متراص) لتكن x ∈ X ، عندئذٍ يوجد تابع f ∈ Ck(X) بحيث أنّ 0 = f(x) نظراً لكون Ck(X) مثالية حرة إلى غير ذلك x ∈ coz f ⊆ supp f التي هي مجاورة متراصة وبالتالي X متراص محلياً. ⇒ لنفرض أنّ X فضاء متراص محليا وليس متراص وعندئذٍ Ck(X) مثالية عملية من C(X) ولتكن x ∈ X ولتكن u مجاورة مفتوحة لـ x حيث متراصة. الانتظام التام لـ X يقتضي أنّه يوجد f ∈ C(X) بحيث إن: 1 = f(x) و 0 = f(X-u) إلى غير ذلك coz f ⊆ u ومنه ⊇ supp f التي هي متراصة. إلى غير ذلك f ∈ Ck(X) وx ∈ coz f إلى غير ذلك Ck(X) مثالية حرة عملية # المبرهنة الآتية تعميم لنتيجة في ( Vechtomov 1982 ) التي كانت تشير بدون برهان إلى فضاءات متراصة محلياً.

مبرهنة 6.2 : Ck(X) هوC(X) – مودول حر ⇔ X متراص. البرهان: ⇐ إذا كان X متراص فإن C(X) = Ck(X) هوC(X) – مودول حر. ⇒ كذلك لنفرض أنّ Ck(X) هوC(X) – مودول حر عندئذٍ:

مع هومودول إيزومورفي لـ C(X)

لأجل جميع α ∈ A . إذا كانت x0 ∈ X – supp fα فإنّه توجد g ∈ C(X) بحيث أنّ: 1 = g(x0) و 0 =g(supp fα) ومنه 0 ≠ g و0 = gfα يعني هذا أنّ g ∈ Ann(fα) وهذا تناقض إلى غير ذلك supp fα = X ومنه X متراص لكون fα ∈ Ck(X) .

مبرهنة 7.2 : Ck(X) هي تقاطع جميع المثاليات الحرة في C(X) انظر ( Gellman et – al : 1976 )

البرهان: من أجل جميع p ∈ BX –X ، إنّ Op مثالية حرة لكون: {p = ∩Z[Op] إلى غير ذلك تقاطع المثاليات الحرة محتوىً في OBX-X = Ck(X) الآن لتكن: f ∈ Ck(X) ولتكن I أي مثالية حرة من C(X) ومنه لأجل جميع مجموعة متراصة A يوجد g ∈ I بحيث أنّ: g ليس له أصفار في A أنظر (Gillman et - al 1976 ) إلى غير ذلك توجد g ∈ I بحيث أنّ g ليس له أصفار في supp f يعني هذا أنّ: Supp f ⊆ coz g ولنعهد:

ماعدا ذلك :

عندئذٍ : h ∈ C(X) و I ∋ hg = f ومنه I ⊇ Ck(X) لكل مثالية

حرة I من C(X) إلى غير ذلك

مبرهنة 8.2 : Ck(X) هوتقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة. البرهان: ينتج من المبرهنة (7.2) أنّ Ck(X) محتوى في تقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة. الآن إذا كان f ينتمي إلى تقاطع جميع المثاليات الأولية الحرة, عندئذ لأجل جميع p ∈ BX – X ، f ∈ O p . ( أنظر 6.1 و 7.1 والتمهيدية التي تنص على ( أنّ المثالية الأعظمية الحرة لا تحتوي مثالية أولية ثابتة ( أنظر Gillman et - al 1976)). ومنه إلى غير ذلك ينتج من المبرهنة التالية ( من أجل أي فضاء X فإنّ ( انظر Gillman et - al 1976 )) أنّ f ∈ Ck(X) .

مبرهنة 8.2 : Ck(X) ⊆ I(X) والاحتواء من الممكنقد يكون تاماً. حيث I(X) هي المثالية المشكلة من تقاطع جميع المثاليات الأعظمية الحرة في C(X) .

البرهان:

إلى غير ذلك Ck(X) ⊆ I(X) .

الفصل الثاني

1. § - الفضاء الجزئي XL والمثالية Ck(X) :

تعريف 1.1 : لنرمز بـ XL للفضاء الجزئي المشكل من مجموعة جميع النقط من X والتي تملك مجاورات متراصة. من الواضح أنّ X متراص محلياً ⇔ X = XL .

مبرهنة 2.1 : من أجل جميع فضاء X ، فإنّ: . البرهان: إذا كان x ∈ عندئذٍ توجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ: x ∈ coz f إلى غير ذلك supp f تكون مجاورة متراصة لـ x وبالتالي: x ∈ XL . بالعكس لنفرض x ∈ KL ولنفرض u مجاورة مفتوحة لـ x بحيث حتى تكون متراصة, توجد f ∈ C(X) بحيث أنّ: f(x) = 1 و f(X-u) = 0 إلى غير ذلك coz f ⊆ u ، ولذلك ⊇ supp f ومنه x ∈ coz f وf ∈ Ck(X) هذا يعني أنّ x ∈ coz Ck(X) وبالتالي XL = coz Ck(X) #

نتيجة 3.1 : XL هي مجموعة جزئية مفتوحة من X .

البرهان: النتيجة تنتج مباشرة من خلال المبرهنة السابقة لأنّ XL هواتحاد لمجموعات مفتوحة #

مبرهنة 4.1 : من أجل جميع فضاء X فإن XL = .

البرهان: لتكن x ∈ عندئذٍ توجد مجموعة مفتوحة u من BX بحيث أنّ x ∈u ⊆ X إنّ نظامية BX تقتضي أنّه توجد مجموعة مفتوحة V من BX بحيث أنّ u ⊇ x ∈ V ⊆ لكن مجموعة مغلقة في BX إلى غير ذلك هي متراصة, وبالتالي مجاورة متراصة لـ x في X ، إلى غير ذلك ينتج أنّ: x ∈ XL . إذا كان x ∈ XL عندئذٍ ينتج من المبرهنة 2.3 أنّه يوجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ x ∈ coz f ولكن Ck(X) = OBX – X ∋ f وهذا ناتج من المبرهنة ( المشار إليها في المبرهنة 8.2 ) إلى غير ذلك: BX – X ⊆ ⊆ Z( ) وبالتالي ( X – BX) ∪ Z(f) = ) Z( لأنّ ) Z(f) = Z( . إلى غير ذلك BX – Z( ) = (BX – Z(f)) ∩ X = X – Z(f ) = coz f لذلك coz f مجموعة مفتوحة في BX إلى غير ذلك x ∈ coz f ⊆ وبالتالي = XL #

نتيجة 5.1 : XL فضاء جزئي مفتوح في BX .

نتيجة 6.1 : XL فضاء جزئي متراص محلياً من X .

نتيجة 7.1 : من أجل جميع f ∈ Ck(X) ، إنّ coz f مجموعة مفتوحة في X

نتيجة 8.1 : . البرهان: بما أنّ من أجل جميع مجموعة جزئية E من X انظر ( Willard 1970 ) إلى غير ذلك لكن وبالتالي #

نتيجة 9.1 : {0 = Ck(X) ⇔ BX – X كثيفة في BX ⇔ Ø = XL

البرهان: يعطى البرهان مباشرة من النتيجة 8.3 والمبرهنة التي نأخذها بدون برهان الآتية: إنّ العبارات التالية متكافئة: 1) {0 = C∞(X) وحيث C∞(X) أسرة جميع التوابع f في C(X) التي لأجلها المجموعة { 1/n ≦ |f(x)| : x ∈ X تكون متراصة من أجل جميع n ∈ N ( مثل هذه التوابع تسمى منعدمة عند اللانهاية ) 2) {0 = I(X) . 3) {0 = Ck(X) 4) X لا تحتوي على أي نقطة لها مجاورة متراصة. 5) BX – X كثيفة في BX ( انظر المبرهنة 2.24 في المرجع (1) )

تعريف 10.1 : يدعى الفضاء X محلياً في لا مكان إذا كانت Ø = من أجل جميع المجموعات الجزئية المتراصة K في X . من الواضح أنّ: X متراص محلياً في لا مكان ⇔ Ø = XL

مبرهنة 11.1 : Ck(X) سليم ( هذا يعني أنّ {0 = Ann Ck(X) ) ⇔ XL كثيف في X

البرهان: لنفرض أنّ XL ليس كثيف في X ولتكن وليكن: f ∈ C(X) بحيث أنّ 1 = f(x) و 0 = ( )f عندئذٍ 0 ≠ f . و f ∈ Ann(Ck(X)) ، لأنّه لأجل جميع g ∈ Ck(X) فإنّ: 0 = f(coz g) إلى غير ذلك 0 = fg . بالعكس. لنفرض أنّ X = وليكن f ∈ Ann(Ck(X)) عندئذٍ: 0 = f(coz g) لأجل جميع g ∈ Ck(X) لكون 0 = f.g إلى غير ذلك 0 = f(XL) وبالتالي 0 = f وبالتالي 0 = f لكون X = إلى غير ذلك: {0 = Ann(Ck(X)) #

مبرهنة 12.1 : Ck(X) مولّد بعنصر جامد ⇔ XL متراص.

البرهان: لنفرض أنّ (e) = Ck(X) مع e = e2 إلى غير ذلك:

                                                      عدا ذلك

وبالتالي supp e = coz e متراصة. لأجل جميع Ck(X) ∋ f إنّ ge = f من أجل أحد العناصر g ∈ C(X) إلى غير ذلك coz f ⊆ coz e لأجل كل: Ck(X) ∋ f وبالتالي coz e = XL متراص.

بالعكس: إذا كان XL متراص عندئذٍ نعهد e(X) بالشكل:

                                                          عدا ذلك

عندئذٍ Ck(X) ∋ e و e = e2 لأجل جميع Ck(X) ∋ f ، إنّ (e) ∋ fe = f إلى غير ذلك (e) = Ck(X) # أمثلة 13.1: في هذه الأمثلة نحسب XL لبعض الفضاءات المعروفة X .

مثال 13.1.1: R = RL ، N = NL ، W = WL لكونها فضاءات متراصة محلياً.

مثال 13.1.2: لتكن [-1 ، 1] = X حيث أنّ جميع النقاط تكون منعزلة ماعدا الصفر {0 يملك مجاورة عادية عندئذٍ {0 – X = XL كثيفة في X . إلى غير ذلك {0 = Ann(Ck(X)) في هذه الحالة { ماعدا مجموعة منتهية 0 = f : f ∈ C(X) = Ck(X) علاوة على ذلك Ck(X) مولّد بعناصر جامدة أي مجموعة التوابع المميزة للنقط في {0 – X .

مثال 13.1.3: لتكن Q = X مع جميع النقاط التي تملك مجاورات عادية ما عدا نقطة الصفر {0 التي هي نقطة منعزلة, عندئذٍ {0 = XL متراصة و (e) = Ck(X) حيث e الدالة المميزة للصفر {0 . { لأجل جميع النقط {0 – X ∋ x 0 = f : f ∈ C(X) = Ck(X)

2. § - نقاء Ck(X)

تعريف 1.2 : نقول عن مثالية I من حلقة R أنّها نقية إذا كان من أجل جميع x ∈ I يوجد عنصر y ∈ I بحيث أنّ xy = x من الواضح أنّه إذا كان f ، g ∈ C(X) مع fg = f عندئذٍ 1 = g في supp f . أيضاً إذا كانت I مثالية نقية من حلقة R عندئذٍ: (a) = aR = aI لأجل جميع a ∈ I

مبرهنة 2.2 : تكون مثالية I من C(X) نقية ⇔ OA = I لكل مجموعة

مغلقة وحيدة A من BX حيث .

البرهان: المرجع [1] .

مبرهنة 3.2 : ليكن X متراص محلياً عندئذٍ Ck(X) مثالية نقية.

البرهان: إذا كان X متراص محلياً عندئذٍقد يكون مجموعة مفتوحة في BX إلى غير ذلك BX – X مجموعة جزئية مغلقة في BX ، لكن OBX – X = Ck(X) إلى غير ذلك تكون Ck(X) مثالية نقية #

نتيجة 4.2 : المثالية مثالية نقية.

البرهان: برهان النتيجة ينتج مباشرة من النتيجة 5.3 والمبرهنة 2.4 .

نتيجة 5.2 : OA مثالية نقية في C(X) ⇔ .

البرهان: إذا كان عندئذٍ تكون OA مثالية نقية اعتماداً على المبرهنة (2.4) السابقة. بالعكس لنفرض أنّ OA مثالية نقية, واضح أنّ:

لأنّ ⊇ A ، لتكن OA ∋ f عندئذٍ توجد OA ∋ g

بحيث أنّ fg = f إلى غير ذلك ، لذلك 1 = على إلى غير ذلك:

ومنه يؤدي إلى أنّ: ، ولكن:

A ⊆ لأنّ OA ∋ g ومنه:

إلى غير ذلك إلى غير ذلك #

تمهيدية 6.2 : إذا كانت I مثالية نقية في C(X) عندئذٍ:

البرهان: واضح أنّ:

الآن إذا كان f ∈ I عندئذٍ توجد g ∈ I بحيث أنّ fg = f إلى غير ذلك 1 = g على supp f إلى غير ذلك supp f ⊆ coz g ⊆ coz I

ومنه #

تمهيدية 7.2 : لتكن I Z – مثالية محتواة في Ck(X) عندئذٍ تكون العبارات التالية متكافئة: 1) I مثالية نقية.

2)

3)

البرهان: 1 ⇐2 : لنفرض أنّ I مثالية نقية, عندئذٍ ينتج من المبرهنة ( 2.2 ) أنّ OA = I حيث ، إلى غير ذلك فإنّ:

لأنّ:

ومنه BX – coz I = A و 2 ⇐3 : ينتج من النتيجة (7.1) حتى coz I مجموعة مفتوحة في BX إلى غير ذلك BX – coz I مجموعة جزئية مغلقة في BX ومنه I مثالية نقية إلى غير ذلك ينتج

من ( التمهيدية 6.2 ) أنّ:

1⇒ 3 : لنفرض أنّ ، لتكن g ∈ I عندئذٍ:

إلى غير ذلك لأجل f1 ، f2 ، ... ، fn ∈ I لأنّ supp g متراصة, لتكن عندئذٍ: h ∈ I و ومنه supp g ⊆ coz h هكذا توجد k ∈ C(X) بحيث أنّ: k(supp g) = 1 و 0 = k(Z(h)) ومنه gk = g و Z(h) ⊆ Z(k) لذلك k ∈ I لأنّه Z – مثالية إلى غير ذلك I مثالية نقية #

نتيجة 8.2 : تكون العبارات التالية متكافئة: 1) Ck(X) نقية. 2) = Ck(X).

3)

نتيجة 9.2 : Ck(X) مثالية نقية ⇔

البرهان: ينتج مباشرة من النتيجة ( 7.1 ) والنتيجة (8.2 )

نتيجة 10.2 : إذا كان X متراص محلياً عندئذٍ Ck(X) مثالية نقية.

البرهان:  إذا كان X متراص محلياً عندئذٍ:                  #

نتيجة 11.2 : إذا كان X متراص محلياً في لا مكان عندئذٍ Ck(X) نقي.

البرهان: إذا كان X متراص محلياً في لا مكان عندئذٍ {0 = Ck(X) وØ = XL .

نتيجة 12.2 : إذا كانت I Z – مثالية محتواة في Ck(X) بحيث coz I مجموعة مفتوحة ومغلقة X عندئذٍ I نقية.

البرهان: لتكن f ∈ I عندئذٍ إلى غير ذلك ( بحسب 7.2 )

أمثلة 13.2 :

مثال 13.2.1: Ck(R) و Ck(N) و Ck(W) مثاليات نقية, لأنّ جميع الفضاءات R ، N ، W متراصة محلياً. مثال 13.2.2: Ck(Q) و Ck(S) وS)×Ck(S تكون مثاليات نقية لأنّ جميع الفضاءات Q و S و S × S هي فضاءات متراصة محلياً في لا مكان. مثال 13.2.3: لأجل الفضاء X المعهد في 13.3.2 CR(X) ليس نقي. لتكن f(x) معهد على النحوالآتي:

                                              عدا ذلك           ;

عندئذٍ {0 ∪ { n ∈ Z* : 1/n = sup f ، إلى غير ذلك

f ∈ CR(X)      و  supp f ⊈ XL  .

مثال 13.2.4: من أجل الفضاء X المعهد في 13.2.3 ، Ck(X) نقية لأنّ {0 = XL هي مفتوحة ومغلقة.

مثال 13.2.5: لتكن X حيث{ 1 ≧ r ≧ -1 or r ∈ Q : r ∈ R = X مع تبولوجيا الفضاء الجزئي عندئذٍ (-1 ، +1) = XL و {coz f ⊆ (-1 ، +1 ) : f ∈ C(X) = Ck(X) لتكن g(x) حيث:

عندئذٍ Ck(X) ∋ g ، لكن supp g = [-1 ، +1] ⊈ XL إلى غير ذلك Ck(X) ليست نقية.

بعض التطبيقات: في هذا المبتر سنبرهن بعض الخواص لـ Ck(X) عندما تكون نقية مستخدمين الشرط التالي: Ck(X) نقية ⇔ .

تمهيدية 14.2 : إذا كانت I مثالية من C(X) ، عندئذٍ المثاليات الأعظمية هي تماماً المثاليات من الشكل M ∩ I ، حيث M مثالية أعظمية في C(X) وM لا تحوي I .

البرهان: المرجع [1] .

مبرهنة 15.2 : المثاليات الأعظمية في Ck(X) هي من الشكل: Ck(X) ∩ Mx حيث x ∈ XL

البرهان: من أجل جميع x ∈ BX – X فإنّ: Mx ⊇ Ox ⊇ Ck(X) إلى غير ذلك Ck(X) = Mx ∩ Ck(X) من أجل جميع x ∈ X – XL فإنّ: 0 = f(x) لكل Ck(X) ∋ f ولذلك Mx ⊇ Ck(X) . الآن لأجل x ∈ XL توجد f ∈ Ck(X) بحيث أنّ f(x) ≠ 0 . إلى غير ذلك Mx - Ck(X) ∋ f ومنه Ck(X) ∩ Mx مثالية أعظمية في Ck(X) اعتماداً على التمهيدية 14.2 #

مبرهنة 16.2 : لنفرض أنّ Ck(X) مثالية نقية. عندئذٍ لأجل جميع مثالية عملية I من Ck(X) ، فإنّ coz I محتواة تماماً في XL

البرهان: لنفرض I مثالية من Ck(X) بحيث أنّ XL = coz I ، ليكن f ∈ Ck(X) نظراً لكون Ck(X) مثالية نقية عندئذٍ:

coz I = XL ⊇ supp f ومنه

حيث fi ∈ I لكل i ، لتكن عندئذٍ g ∈ I

و

لنعهد h(x) بالشكل:

عدا ذلك عندئذٍ h ∈ C(X) ، لأنّ supp f ⊆ coz g ، إضافة إلى ذلك I = gh = f ومنه Ck(X) = I تناقض ، هكذا XL = coz I #

ملاحظة 17.2 : لتكن I مثالية من C(X) وليكن: { حيث M مثالية أعظمية من C(X) لا تحوي I : M ∩ I = BI التطبيق t : BI → Max(C(X)) المعهد بالشكل: t ( I ∩ M ) = M هوهوميومورفيزم إلى الفضاء الجزئي من Max(C(X)) ، بما أنّ Max(C(X)) هوميومورفيزم لـ BX و t (BI ) مفتوحة في Max(C(X)) ، فإنّ BI متراصة محلياً وهاوسدورف. لتكن { MX ⊉ I : x ∈ BX = μ I عندئذٍ μ I هوميومورفيزمي لـ t (BI ) ( أنظر المرجع [1] )

تمهيدية 18.2 : إذا كان I وJ مثاليتان إيزومورفيتان من C(X) عندئذٍ: BI هوميومورفيزمي لـ BJ ( أنظر المرجع [1] ) تمهيدية 19.2 : إذا كان Ck(X) إيزمورفي لـ Ck(Y) عندئذٍ XL هوميمورفي لـ YL .

البرهان: يعتمد مباشرة على ( المبرهنة 15.2 ) و (17.2 ) و( 18.2 ) لأنّ: (Ck(X))μ = XL هوميومورفي لـ (Ck(X))B # من أجل العكس للتمهيدية السابقة يفترض أن نحتاج لنقاوة Ck(X) وCk(Y) كما هومشروح في المبرهنة التالية:

مبرهنة 20.2 : لتكن Ck(X) وCk(Y) مثاليتان نقيتان. إذا كان XL هوميومورفي لـ YL ، عندئذٍ Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(Y) .

البرهان: لنفرض YL → XL : φ هوميومورفيزم, لتكن Ck(Y) ∋ f ، عندئذٍ: 0 ≠ (x)φ ○ f1 هذا يعني φ(x) ∈ coz f = y إلى غير ذلك coz f ⊇ (φ ○ coz f1)φ إذا كان y ∈ coz f عندئذٍ φ(x) = y من اجل أحد العناصر x ∈ XL عندئذٍ: (coz f )φ-1 ∋ φ-1(y)= x ، إلى غير ذلك 0 ≠ (x)φ ○ f1 هذا يعني:

φ ○ coz f1 ∋ x ومنه (φ ○ coz f1)φ ∋ φ(x) = y ، هكذا (φ ○ coz f1)φ = coz f الذي يقتضي أنّ: φ ○ coz f1 = (coz f )φ-1

لذلك:

( لأنّ φ هوميومورفيزم )

( لأنّ supp f ⊆ YL )

ومنه متراصة لأنّ φ-1 هوميومورفيزم إلى غير ذلك مجموعة مغلقة في X ، الآن: لنعهد: gf : X → R بالشكل:

عندئذٍ gf ∈ C(X) ، لأنّ: تكون مغلقة في X ، أكثر من ذلك Ck(X) ∋ gf لأنّ لنعهد Ck(X) → Ck(Y) : بالشكل: gf = (f) ليكن Ck(Y) ∋ f ، h ، إذا كانت XL ∋ x عندئذٍ:

إذا كان XL ∌ x عندئذٍ هكذا بشكل مشابه: (f) =(fh) ومنه هومومورفيزم حلقي . الآن لنفرض 0 = (f) عندئذٍ 0 = (x) ○ f1 لأجل جميع x ∈ XL هذا يعني: 0 = φ ○ f1 لكن φ-1(coz f) = φ ○ coz f1 هكذا φ-1(coz f) = Ø هذا يعني Ø = coz f ومنه 0 = f إلى غير ذلك متباين لتكن f ∈ Ck(X) ، لنعهد g : Y → R بالشكل:

عندئذٍ g ∈ C(Y) ، لأنّ φ(supp f) متراصة ( استخدمنا هنا نقاوة Ck(X) ، لأنّه فرضنا أنّ supp f ⊆ XL ) أكثر من ذلك إذا كان 0 ≠ g(y) عندئذٍ coz f ∋ φ-1(y) إلى غير ذلك: coz g ⊆ φ(coz f )

ومنه متراصة. إلى غير ذلك supp g متراصة لأنّ supp g ⊆ YL إلى غير ذلك g ∈ Ck(Y)

ما عدا ذلك

                                                                    f(x)     =

هكذا f = (g) ومنه Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(Y) #

نتيجة 21.2 : لتكن Ck(X) و Ck(Y) مثاليتان نقيتان عندئذٍ XL هوميومورفي لـ YL إذا وفقط إذا كان Ck(X) إيزومورفي حلقي لـ Ck(Y)

البرهان: ينتج مباشرة من ( التمهيدية 19.2 ) و ( المبرهنة20.2 )

نتيجة 22.2 : إذا كان Ck(X) مثالية نقية عندئذٍ: Ck(X) إيزومورفي لـ Ck(XL ) . البرهان: لنأخذ في (21.2) أنّ XL = Y في الواقع في هذه الحالة جميع تابع من Ck(XL ) هوممدد لتابع من Ck(X) . #

ملاحظات 23.2 : 1) النتيجة السابقة نقول أنّه إذا كانت خاصة حلقة هي صالحة لـ Ck(X) عندما X متراص محلياً عندئذٍ هي صالحة لـ Ck(X) عندما تكون نقية لأنّ XL متراص محلياً وCk(X) إيزومورفيزم حلقي لـ Ck(XL ) .

2) إذا كانت W تشير إلى مجموعة الأعداد القياسية التي هي أقل من العدد القياسي غير القابل للعدد الأول w1 عندئذٍ C(w) إيزومورفية لـ C(w*) لكن w ليس هوميومرفي لـ w* ، بينما ( كما هومبين في 4.2.5 ) هوليس إيزومورفي لـ C(w*) = Ck(w*) .

3) الشرط أنّ Ck(X) نقية في 21.2 و22.2 لا يلغي جميع الفرق لأنّه إذا كان Ck(X) ليس نقي عندئذٍ لتكن XL = Y ، عندئذٍ Y = YL = XL لكن Ck(X) ليس إيزومورفي لـ Ck(Y) . لأنّ الأخير نقي لأن Y متراص محلياً. #

3. § - متى تكون المثالية C(X) مثالية أولية ؟

تعريف 1.3 : يدعى فضاء X فضاء متراص تقريباً إذا كان BX هوالتراص ذوالنقطة الواحدة من X ( أي {∞ ∪ X = X* = BX )

مبرهنة 2.3 : إنّ العبارات التالية متكافئة: 1) X فضاء متراص تقريباً. 2) لأجل أي مجموعتين صفريتين غير مترابطتين في X ، على الأقل واحدة تكون متراصة. 3) X ⊆ T يقتضي أنّ BX ⊆ BT . 4) جميع طمر من X قد يكون C – طمر 5) التراص من X هوفقط BX.

أمثلة 3.3 :

مثال 3.3.1: فضاء الأعداد القياسية [ 0 ، w1 ] = W ، مستوي يمكن فوق:

{(w1 ، w0 ) – [0 ، w0 ] × [0 ، w1 ] = T جميعاً تكون فضاءات {(w1 ، w1 ) – [0 ، w1 ] × [0 ، w1 ] = N متراصة تقريباً

( أنظر Gillman et - al 1976 )

مثال 3.3.1: لتكن x0 ∈ BX –X بحيث {x0 ليست نقطة منعزلة عندئذٍ: {x0 – BX = Y تكون فضاء متراص تقريباً و{x0 ∪ Y = BY = BX أنظر المرجع [1] .

مبرهنة 4.3 : Ck(X) مثالية أولية ⇔ X فضاء متراص تقريباً و∞ تكون BF – نقطة.

البرهان: إذا كانت Ck(X) مثالية أولية عندئذٍ Ck(X) محتواة في مثالية أعظمية وحيدة لكن:

إلى غير ذلك 1 = | BX –X |

ومنه {∞ ∪ X = BX ومنه O ∞ = Ck(X) مثالية أولية إلى غير ذلك X فضاء متراص تقريباً و∞ تكون BF - نقطة.

بالعكس: لنفرض بأنّ الشرطين أعلاه محققين عندئذٍ:

O ∞ = OBX – X = Ck(X)

ومنه Ck(X) مثالية أولية لأنّ ∞ تكون BF – نقطة. #

ABSTRACT

Let X be a completely regular T2 space and let C(X) denote the set of all continuous real functions defined on X . then C(X) is a commutative ring with unity where addition and multiplication are defined as follows

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (f . g)(x) = f(x) . g(x) for all x ∈ X

In this we studied Ck(X) the ideal of continuous real valued function with compact support in X and we gave some Algebraic properties of this ideal characterized using the subspace XL . the set of all points in X having compact Neighborhoods We showed that

XL =

And the ideal Ck(X) is pure if and only if

as also showed that the ideal

Ck(X) is prime if and only if BX = X* = X ∪ {∞ And ∞ is a BF – point. So we showed the relation between the algebraic and the topological properties.