مقدمة فهم الاحتمالات

المقدمة التاريخية

بدأت الأبحاث الاولية لنظرية الاحتما بدأت الأبحاث الاولية لنظرية الاحتمال في البحث الفهمي الغربي في اواخر القرن الخامس عشر، وبالتحديد عام (1494)، حين نشر الرياضي الايطالي «لوسا پاسيولي» «Luca Pacioli»ا (1445 - 1514) عمله «Summa de Arithmatica» والذي ناقش فيه العاب الحظ.

قدم الرياضي الايطالي «جيرولاموكاردانو» «Girolamo Cardano»ا (1501 - 1576)في عمله «Liber de Ludo Aleoe»، والمنشور عام (1663)، جملة من القواعد المساعدة في حل مشكلات العاب الحظ، وتبعه في ذلك مواطنه الرياضي «نيكولوفونتانا تارتاجليا» «Tartaglia Fontana Niccolo»ا (1500 - 1557).

ثم كان للفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليوجاليلي» (1564 - 1642) عام (1606) اسهام في حل مشاكل العاب الحظ والقمار كان قد ضمنه في رسالة له إلى صديق مقامر استشاره في ثلاث مشاكل حول العاب الحظ .

وفي اوائل القرن السابع عشر، برز اسم الفيلسوف الانجليزي «فرنسيس باكون» (1561 - 1626) الذي يعد بعد الفيزيائي الانجليزي «وليم جلبرت» (1544 - 1603) والفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليوجاليليي» من ابرز المنادين بالمنهج الاستقرائي وذلك في كتابه «الاورجانون الجديد» (المنشور 1620) الذي ثار فيه على ارسطووحاول وضع منطق حديث يحل محل المنطق الارسطي.

لكن هذه الاسهامات ظلت اولية وهامشية بالنسبة إلى حقيقة البحث في نظرية الاحتمال، والذي لم يتحدد بحدوده الفهمية المقننة حتى النصف الثاني من القرن السابع عشر حين ارسل «شيفلييه دي ميريه» في صيف (1654 م) إلى العالم الفرنسي «بليز پاسكال» (1623 - 1662) يساله عن الجواب الرياضي الدقيق لمسالتين نشاتا له اثناء المقامرة، عهدت مشكلتهما فيما بعد ب - «مشكلة النقاط»، والمسالتان هما: 1 - ما اقل عدد من الرميات يستطيع المرء بعدها ان يتسقط ان يظهر رقم «6» في زهرتي اللعب معا،يا ترى؟ 2 - اذا اوقف اللاعبان لعبهما مختارين قبل نهاية الدور، وبحثا عن تقسيم عادل لما اتى به الحظ لكل منهما، فما نصيب جميع منهما تبعا لكسبه الدور في ذلك الوقت؟

بعد ذلك تبادل «پاسكال» الرسائل حولها مع الرياضي الفرنسي «پيير دوفيرما» (1601 - 1665)، وتوصل «پاسكال» - الذي وقف في حله للمسالة عند حد لاعبين اثنين - إلى الاجابة عن المسالتين، واجاب «دي ميريه» الجواب السليم القائم على اساس رياضي، وتوصل إلى اكتشاف طريقتين من طرق حساب الاحتمالات، واكتشف ثالثتهما «فيرما» الذي لم يحصر منهجه بعدد معين من اللاعبين، والذي اعترف له «پاسكال» بسلامة منهجه هذا. وكانت هذه الاجابات تعبير عن اول اشتراك مفصلي للرياضة في نظرية الاحتمالات وطريقة حسابها.

واثناء حله ل«مشكلة النقاط»، اكتشف «پاسكال» اداة لحساب «التوافيق» عهدت فيما بعد في الرياضيات ب - «مثلث پاسكال»، وكان ل«مثلث پاسكال» هذا دور بارز في تحقيق قفزة لصالح نظرية الاحتمال؛ لاعتمادها بشكل اساس على «التوافيق» و«التباديل» كما سيتضح ان شاء الله تعالى لدى الحديث عن جزئياتها الرياضية.

واثر اعمال «پاسكال» و«فيرما» غير المنشورة هذه، تشجع العالم الدانماركي «كريستيان هايكنز»(1629 - 1695) على نشر عمل صغير له حول الاحتمالات في دائرة العاب الحظ والنرد نشره في نهاية كتاب مدرسي في مادة الرياضيات، وقد ضمن عمله هذا 14 نظرية في حل العاب الحظ، تاركا خمسا منها بلاحل ليقوم بوضع حل لها (برنولي) على ما ياتي.

وفي سنة (1679) - اي بعد وفاة «پاسكال» ب(17) عاما -، نشرت ثلاث من الرسائل المتبادلة بينه وبين «فيرما» بعدان كانت قد خطت سنة (1654). ثم اعيد نشر هذه الرسائل لاحقا ضمن مجموعة مؤلفات «پاسكال» عام (1819).

وفي سنة (1666)، اكتشف العالم الانجليزي «اسحاق نيوتن» (1642 - 1727) نظام العد الخاص به،ولكنه تاخر في نشره إلى العام (1687 م).

وقد تمكن الرياضي والفيلسوف الالماني «جوتفريد ويلهلم لايبنتيز» (1646 - 1716) سنة (1675) من اكتشاف المباديء الاساسية لحساب اللامتناهيات بشكل مستقل عن «نيوتن»، لكنه نشرها قبل نشر«نيوتن» لاعماله بثلاث سنوات اي عام (1684).

ثم بعد ذلك برز دور العالم السويسري «جايمس برنولي» (1654 - 1705) في ((332)) كتابه «فن التخمين» والذي نشره ابن اخيه «نيكولا برنولي» سنة (1713 م)، اي بعد ثمان سنوات من وفاة عمه، ويقع الكتاب في اربعة اجزاء، يحظى الجزء الاخير منها - على الرغم من انه هجره ناقصا - باهمية كبرى في مجال تطور نظرية الاحتمالات، وقد تضمن الكتاب بالاضافة إلى اكتشاف «برنولي» لقانون التوزيع في «الاعداد الكبيرة»، حلا لخمس من المسائل التي كان «كريستيان هايكنز» قد هجرها بلا حلول كما تقدم.

وقد ساهم - إلى جانب «برنو» - في تطوير المسائل الرياضية التي ادت فيما بعد إلى بلورة وصياغة نظرية الاحتمال، «مونمور» (1678 - 1719) في كتابه عن الحظوظ، والرياضي الفرنسي «ابراهام دوموافر» (1667 - 1754) وهومن اصدقاء «اسحاق نيوتن»، حيث نشر على التوالي سنة (1718)، (1738)، (1756) مساهماته في الاحتمال ضمن كتابه في المصادفة «مبدا الفرص».

وفي هذه الفترة، بدا «دايفد هيوم» (1711 - 1776) بتقويم المنهج الاستقرائي، عبر ما بحثه في مسالتي «العلية» و«القضايا التجريبية».

ثم ياتي دور الرياضي الفرنسي «جين لورون دلامبير» (1717 - 1783) ليثير نقدا على حساب الاحتمالات.

وعام (1763)، نشر كتاب الرياضي الانجليزي «توماس بايز» (1702 - 1761)، وكان «باي» من رواد نظرية الاحتمال حتى صارت له مبرهنة خاصة في الاحتمال عهدت ب«مبرهنة بايز».

وفي سنة (1785)، نشر السياسي والرياضي الفرنسي «ماري كوندورسيه» (1743 - 1794) اهم اعماله، وهوتعبير عن دراسة له حول نظرية الاحتمال.

وسنة (1794) نشر «انسيون»((333)) كتابه حول حساب الاحتمالات، وكانت ملاحظاته منطلقا لمساهمة «كينز» في القرن العشرين.

وكان للرياضي والفيزيائي الالماني «كارل فريدريك جاوس» (1777 - 1855) دور بارز في تحديد اساسيات توزيع الاحتمال حتى لا يزال «المنحنى» البياني للاحتمال يحمل اسمه.

ثم كان للرياضي الفرنسي «سيميون دنيس پواسون» (1781 - 1840) دور في توضيح هذه النظرية، وصار له توزيع في نظرية الاحتمال عهد ب«توزيع پواسون».

وساهم في نظرية تكرار الحدوث، الفلكي والرياضي الفرنسي «پيير سيمون لاپلاس» (1749 -1827) عام (1812 م)، في كتابه «النظرية التحليلية للاحتمالات» حتى عدت اعمال «لاپلاس» الاسهامات الاساس في بلورة نظرية الاحتمال التي دخلت بفضل ابحاثه عصرا جديدا، وتلاه عام(1814) ب«بحث فلسفي حول الاحتمالات».

وفي هذه الفترة ظهرت بعض المحاولات لتقنين نظرية الاحتمال، منها محاولات المنطقي والرياضي الانجليزي «دومورجان» (1806 - 1871) سنة (1837) في كتابه «نظرية الاحتمالات» ومحاولات الرياضي الانجليزي «جورج بول» (1815 - 1864) - واضع اول نظام متكامل لمنطق الاحتمال - اللذين عملاعلى التاسيس للمنطق الرمزي.

وفي عام (1843) اصدر الفيلسوف الانجليزي «جون ستيوارت مل» (1806 - 1873) الكتاب الذي اذاع شهرته، وهو«نسق في المنطق»، والذي كان الشيء الجديد فيه بالنسبة إلى عصره، معالجته للاستقراء معالجة جادة.

وفي السنة نفسها صاغ الاقتصادي والرياضي الفرنسي «انطوان اوجستان كورنو»(1801 - 1877) نظرية خالصة للمصادفة في كتابه «شرح نظرية الصدف والاحتمالات»، واقام بناء فلسفيا على تصوره الموضوعي للمصادفة.

وفي هذا العام ايضا نشر «اليس» في مجال الاحتمال كتابه «الاسس»، وكان اول من نادى بنظرية تكرار الحدوث المحدودة في منتصف القرن التاسع عشر ((334)).

وقد وضع المنطقي الانكليزي «جون فن» (1834 - 1923) عام (1866) شرحا مطولا لاعمال «لاپلاس» المتقدمة في كتابه «منطق الصدف»، وتوصل «فن» إلى وضع مخطط للاحتمالات الممكنة صار يسمى ب«مخطط فن». كما ان نظرية تكرار الحدوث صارت ترتبط باسم «فن» بعد ان كان «اليس» اول المنادين بها.

واضاف إلى اعمال «لاپلاس» اضافات هامة فيما بعد الامريكي «تشارلز پيرس» (1839 -1914) في اوائل القرن العشرين في «الاوراق المجموعة».

وقريب سنة (1874)، توصل مؤسس مدرسة «بطرس بورغ» الرياضية، الرياضي الروسي «تشبيشف» (1821 - 1894) إلى صياغة برهان سهل ودقيق لقانون الاعداد الكبيرة ل«برنولي» ((335)).

وفي هذه الفترة برز الرياضي الروسي «اندريه ماركوف» (1856 - 1922) الذي اختص بالاحتمال، وتوصل إلى ما عهد ب«سلاسل ماركوف».

وابتداء من النصف الثاني من القرن التاسع عشر، تعاظم تطبيق المناهج الاحصاية في الفهم، فتنامى الهجريز على المفهوم الاحصائي للاحتمال.

[تحرير] بدايات البحث المنطقي: في بداية القرن العشرين، بدا البحث في نظرية الاحتمال ياخذ - إلى جانب بعده الرياضي - بعدا فلسفيا منطقيا. وقد سرع في ذلك سير البحث الرياضي عموما نحوالجانب المنطقي. ففي العام (1908)، تعرض الفيلسوف والرياضي الفرنسي «هنري بوانكاريه» (1854 - 1912) إلى فلسفة المصادفة في كتابه «الفهم والمنهج».

وبين العامين (1910) و(1913)، ظهرت باكورة العمل المشهجر بين الفيلسوف الانكليزي «برتراند رسل» (1872 - 1970) واستاذه ومواطنه الرياضي «الفرد نورث وايتهد» (1861 - 1947) في ثلاثة مجلدات باسم «اصول الرياضيات» تاسيسا منهما للمنطق الرياضي. وقد عده بعض الباحثين من اعظم الاعمال الفكرية في تاريخ الفكر البشري ((336))، وكان «راسل» قد تجاوز ذلك بكتاب «مبادئ الرياضيات» عام (1903).

ثم تعرض «راسل» سنة (1912) لمشكلة الاستقراء في كتابه «مشكلات الفلسفة»، تحت عنوان «في الاستقراء».

وفي عشرينات القرن العشرين، طرح امثال عالم الاحصاء الانجليزي «رونالد فيشر» (1890- 1962) والرياضي النمساوي «ريتشارد فون مايسز» (1883 - 1953) والفيلسوف الفيزيائي الالماني «هانز رايشنباخ» (1891 - 1953) مفاهيم جديدة عن الاحتمال تتفق مع مدلوله الاحصائي لا الاستقرائي.

وسنة (1921) بذل عالم الاقتصاد «جون ماينار كينز» (1883 - 1946) اول محاولة لاعادة احياء مفهوم الاحتمال القديم في كتابه «منطق في الاحتمال» ((337))، وتلاه الجغرافي والفلكي الانجليزي «هارولد جفريز»(1891 - 1989) عام (1939 م) في كتابه «نظرية الاحتمال» في رفضه لمفهوم الاحتمال الاحصائي،والى جانبهم الشاب «فرانك رامزي» (1903 - 1930) متصديا لمحاولات «هيوم» في هدم التجريبية والاستقراء . وقد شكل هؤلاء حركة عهدت باسم «البيزية» نسبة إلى العالم متقدم الذكر «توماس بايز». وكان «رامزي» شديد النقد ل«رسل» و«وايتهيد» في كتابهما «اصول الرياضيات»، وقد جمعت منطقاته بعد وفاته ونشرت عام(1931) تحت عنوان «اسس الرياضيات وبحوث منطقية اخرى».

وكان للعالم السوفييتي «اندريه كولموغوروف» (1903 - 1987) عام 1933 دور بارز في تحديد انظمة العد التي تعتمد عليها نظرية الاحتمال، اضافة إلى تحديده شروطا يجب ان يحققها الاحتمال، فتحدث عن «الفضاء العيني» و«الاحداث».. وقد عد عمل «كولموغوروف» مساهمة هامة في تطور نظرية الاحتمال.

وفي العام التالي، اي (1934 م)، يطلع علينا فيلسوف الفهم النمساوي - الانجليزي «كارل پوپر» (1902 - 1994) بكتابه «منطق البحث» او«منطق الكشف الفهمي» - كما اسماه في طبعته الانجليزية - ،والذي لم ير فيه ان الاستقراء مرشد مفيد لليقين، بل افترض ان الصعوبات المتعددة للمنطق الاستقرائي لا يمكن تخطيها.وكان «پوپر» شديد التحامل على الاستقراء حتى لا تكاد تخلومنطقة اومحاضرة له من هجوم على الاستقراء الذي كان يعده خرافة.

وفي العام (1935)، ينشر «هانز رايشنباخ» المتقدم الذكر كتابه «نظرية الاحتمالات»، والذي يبحث فيه حول الاستقراء.

وفي هذه الفترة توالت اعمال مجموعة من الفهماء عملوا على التاسيس لبدهيات ((338)) الاحتمال، وكان منهم «فردريك وايزمان» سنة (1931)، «ستيفان مازركيوز» عام (1932)، «جنينا هوزياسون» (1940) و(1941)، «كوپمان» (1940)، «رايت» (1941).

وفي عام (1941) انصرف الفيلسوف الالماني «رودولف كارناپ» (1891 - 1970) إلى دراسة الاستقراء ومشكلاته.

وفي هذه الفترة تمكن الفيلسوف الانجليزي «تشارلي دنبر برود» (1887 - 1971) من التاسيس لبدهيتي «الاتصال» و«الانفصال» واللتين نقلهما عنه «رسل» في كتابه الاتي.

وفي سنة (1945)، طلع «كارناپ» بمنطقة له تحت عنوان «في المنطق الاستقرائي» نشرها في مجلة «فلسفة الفهم»، واخرى عام (1947) تحت عنوان «في تطبيق المنطق الاستقرائي».

وفي عام (1948 م)، يعود «برتراند راسل » إلى الساحة مع كتابه «الفهم الانسانية.. مداها وحدودها» والذي خصص حوالي (80) صفحة منه للبحث حول نظرية الاحتمال. وقد لعب هذاالكتاب دورا بارزا في نقل افكار القارة الغربية إلى الشرقية كما ياتي ان شاء الله تعالى.

وفي العام نفسه قدم الفرنسي «پوي سيرفيان» ثلاثة اعمال له حول الاحتمال: «الاحتمالات والفيزياء»، «الاحتمال والكمات» و«الصدفة والرياضيات» (منطق).

ثم اعقبهما «وليم نيل» بعمله «الاحتمال والاستقراء» عام (1949).

وعام (1950) ظهرت احدى اعمق الدراسات حول الاحتمال والاستقراء، وذلك في كتاب «كارناپ» «الاسس المنطقية للاحتمال» الذي تناول فيه المسالة بعمق وتخصص، بعد ان كان «كارناپ» - كما ذكرنا سابقا - قد انصرف إلى مشاكل الاحتمال والاستقراء منذ (1941).

وبعد ذلك بعام (1951) نشر «كارناپ» «الطبيعة وتطبيق المنطق الاستقرائي». وفي العام نفسه نشر الدكتور المصري زكي نجيب محمود (1905 - 1993) كتابه المعروف «المنطق الوضعي» الذي تعرض في الفصل الاخير منه إلى حساب الاحتمالات، ذاكرا بعض ما عند القوم من نظريات، لكن دون ان ياتي بجديد في المضمار.

وفي عام (1952) اردف «ردولف كارناپ» كتابه السابق ب«سلسلة المناهج الاستقرائية». كما وبحث الفيلسوف الانجليزي المعاصر «پيتر فريديريك ستراوسون» (1919 - ..) معضلة الاستقراء، محاولا الغاءها في فصل من كتابه «مقدمة نحوالنظرية المنطقية».

ولم يكتف «كارناپ» بذلك، فاضاف عام (1955) إلى جهوده جهدا آخر في «الاحتمال الاحصائي والاحتمال الاستقرائي».

وعام (1957 م) خط «سلمون» مؤلفه اي «هل علينا محاولة تبرير الاستقراء؟».

وعام (1965 م) خط «هاكينغ» مؤلفه «اثبات سلمون للاستقراء»، ثم ناقش «ليفي» «سلمون» و«هاكينغ» معا في «هاكينغ وسلمون حول الاستقراء».

وفي عام(1966) خط«سكايرمس» مقدمة حول معضلة «التدليل»، وجمع «فوستر» و«مارتن» معظم الموضوعات في هذا المجال في كتابهما «Probability, Confirmation and Simplicity».

وفي العام نفسه خط د. محمود زيدان - الذي صدرت عنه عام (1978 م) الترجمة الموجزة لكتاب «الاسس المنطقية للاستقراء» إلى اللغة الانجليزية - كتابه «الاستقراء والمنهج الفهمي».

وعام (1967 م)، ناقش «اسحاق ليفي» قواعد القبول الاستقرائية في كتابه «المقامرة مع الحقيقة».

[تحرير] المدخل الرياضي إلى نظرية الاحتمال اولا: تمهيد في تعريف الاحتمال: على نحوالاختصار نقول: انه قد ذكر للاحتمال تعريفات عديدة بين العهدي والرياضي ودرجة التصديق وغير ذلك. وقد ذكر «ردولف كارناپ» في كتابه «الاسس المنطقية للاحتمال» ان تعريفات الاحتمال كثيرة، وقد نقل عن العالم النمساوي «ارنست ناجل» (1901 - 1985) في كتابه «المبادئ» محاولته لفرزالتعريفات في ثلاث مجموعات:

1 - المفهوم الكلاسيكي للاحتمال، والموضوع من قبل «لاپلاس». 2 - مفهوم الاحتمال بوصفه علاقة ضرورية موضوعية منطقية بين مفردات الاحتمال (Certain Objective Logical Relation)، ويقف على راس هذه المجموعة «جون كينز» و«هارولد جيفري». ثلاثة - مفهوم الاحتمال بوصفه تكرارا نسبيا (Relative Frequncy)، ويبرز ضمن هذه المجموعة دور «ريتشارد فون مايسز» و«هانز رايشنباخ» اللذين لعبا دورا بارزا في «دائرة فينا» الفلسفية.

ثم بسط «كارناپ» الكلام حول مفهومين للاحتمال «احصائي» و«استقرائي».

ل في البحث الفهمي الغربي في اواخر القرن الخامس عشر، وبالتحديد عام (1494)، حين نشر الرياضي الايطالي «لوسا پاسيولي» «Luca Pacioli»ا (1445 - 1514) عمله «Summa de Arithmatica» والذي ناقش فيه العاب الحظ.

قدم الرياضي الايطالي «جيرولاموكاردانو» «Girolamo Cardano»ا (1501 - 1576)في عمله «Liber de Ludo Aleoe»، والمنشور عام (1663)، جملة من القواعد المساعدة في حل مشكلات العاب الحظ، وتبعه في ذلك مواطنه الرياضي «نيكولوفونتانا تارتاجليا» «Tartaglia Fontana Niccolo»ا (1500 - 1557).

ثم كان للفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليوجاليلي» (1564 - 1642) عام (1606) اسهام في حل مشاكل العاب الحظ والقمار كان قد ضمنه في رسالة له إلى صديق مقامر استشاره في ثلاث مشاكل حول العاب الحظ .

وفي اوائل القرن السابع عشر، برز اسم الفيلسوف الانجليزي «فرنسيس باكون» (1561 - 1626) الذي يعد بعد الفيزيائي الانجليزي «وليم جلبرت» (1544 - 1603) والفيزيائي الفلكي الايطالي «جاليليوجاليليي» من ابرز المنادين بالمنهج الاستقرائي وذلك في كتابه «الاورجانون الجديد» (المنشور 1620) الذي ثار فيه على ارسطووحاول وضع منطق حديث يحل محل المنطق الارسطي.

لكن هذه الاسهامات ظلت اولية وهامشية بالنسبة إلى حقيقة البحث في نظرية الاحتمال، والذي لم يتحدد بحدوده الفهمية المقننة حتى النصف الثاني من القرن السابع عشر حين ارسل «شيفلييه دي ميريه» في صيف (1654 م) إلى العالم الفرنسي «بليز پاسكال» (1623 - 1662) يساله عن الجواب الرياضي الدقيق لمسالتين نشاتا له اثناء المقامرة، عهدت مشكلتهما فيما بعد ب - «مشكلة النقاط»، والمسالتان هما: 1 - ما اقل عدد من الرميات يستطيع المرء بعدها ان يتسقط ان يظهر رقم «6» في زهرتي اللعب معا؟ 2 - اذا اوقف اللاعبان لعبهما مختارين قبل نهاية الدور، وبحثا عن تقسيم عادل لما اتى به الحظ لكل منهما، فما نصيب جميع منهما تبعا لكسبه الدور في ذلك الوقت؟