الدالة الأسية (بالإنجليزية: Exponential function)‏ هي جميع دالة تُخط على الشكل ${\displaystyle f(x)=a^x}$${\displaystyle a>1}$

دوال أسية أخرى

${\displaystyle f(x)=a^{x +b^{2 x$ أو

${\displaystyle f(x)=a^{x +5.M^{x -3$ أو

${\displaystyle f(x)=a^{x +e^{x$

مثال آخر للدالة الأسية :

y = ل مرفوعة للقوة x ، وتخط رياضيا كالآتي:

y=ل^x

حيث ل> صفر.

أي حتى الدالة الأسية بصفة عامة :

X=yⁿ

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا ${\displaystyle e^n}$${\displaystyle e^n}$

خواص الأسس

التعريف الجبري للدالة الأسية هوأنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية :

a⁰=1

a¹=a

الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذوالأساس a حيث تحول ${\displaystyle a^{x$ إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع :

${\displaystyle \log(a^{x )=x\log(a)$

حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه الموضوعة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية ${\displaystyle a^{x$ إلى أي أساس آخر ${\displaystyle b$ :

${\displaystyle a^{x =b^{x\cdot \log _{b (a)$

وتنطبق القوانين التالية عليها :

${\displaystyle a^{0 =1\,$...و... ${\displaystyle a^{1 =a\,$

${\displaystyle a^{x+y =a^{x \cdot a^{y$

${\displaystyle a^{x\cdot y =(a^{x )^{y$

${\displaystyle a^{-x ={\frac {1 {a^{x =\left({\frac {1 {a \right)^{x$

${\displaystyle a^{x \cdot \ b^{x =(a\cdot \ b)^{x$

وتنطبق تلك القوانين على جميع الأساسيات الحقيقية الموجبة ${\displaystyle a\,$ و${\displaystyle b\,$ وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة ${\displaystyle x$.

من أبرز الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي ${\displaystyle e^{x$ واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز ln ، ويسمى "اللوغاريتم الطبيعي".

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين :

${\displaystyle f'=f$

${\displaystyle f(0)=1$

أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

الدالة الأسية للثابت الطبيعي e

هناك الحالة الخاصة عندماقد يكون الأساس هوالثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي "هـ" بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتخط باللغة الإنجليزية:

(x=exp(n

حيث n هوالأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أوبالتفصيل :

x=eⁿ

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$

${\displaystyle a^{x :=\exp(x\cdot \ln a)$

${\displaystyle a^{x :=e^{x\cdot \ln a$

وذلك لجميع ${\displaystyle a>0$ وجميع ${\displaystyle x$ الحقيقية والمركبة.(ln a هواللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل :تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل : اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x=eⁿ حيث n=t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x=e^-t.c.

• ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثالقد يكون n=t.c حيث t الزمن ثانية وc خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
• يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e

يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

${\displaystyle \displaystyle e^{x =\sum _{n=0 ^{\infty {\dfrac {x^{n {n! =1+x+{\dfrac {x^{2 {2! +{\dfrac {x^{3 {3! +{\dfrac {x^{4 {4! +\cdots$

أقل شيوعا يمكن تعريف e^x كحل للمعادلة التالية:

${\displaystyle \displaystyle x=\int _{1 ^{y {\dfrac {\mathrm {d t {t .$

هي أيضا تساوي النهاية التالية:

${\displaystyle \displaystyle e^{x =\lim \limits _{n\to \infty \left(1+{\dfrac {x {n \right)^{n .$

مشتقة الدالة الأسية للأساس e

تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية :

${\displaystyle {\frac {\mbox{d {{\mbox{d x \exp(x)=\exp(x)$

وعندما نختار لها الشرط :

${\displaystyle \exp(0)=1\;$

تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون ${\displaystyle a>0$ ينتج :

${\displaystyle a^{x =\exp(x\cdot \ln a)$

حيث ln a هواللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة :

${\displaystyle {\frac {\mbox{d {{\mbox{d x a^{b\cdot x =b\ln a\cdot a^{b\cdot x$

وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة "طبيعية" من نفسه.

المعادلة التفاضلية من النوع ${\displaystyle {\frac {dy {dx =ay+b$ حيث a وb عددان حقيقيان

إن حل هذه المعادلة التفاضلية تعبير عن دالة أسية بحيث ${\displaystyle y(x)=\lambda e^{ax -{\frac {b {a$ حيث ${\displaystyle \lambda$ ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

مثال:

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

${\displaystyle N(t)=N_{0 \,e^{-{\lambda t \,\!$

وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t=0).

وتعتمد :${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$

المجاميع أسية

ليكن ${\displaystyle a}$${\displaystyle a>1$

المجموع الأول

${\displaystyle \sum _{i=0 ^{n-1 {a^{i =a^{0 +a^{1 +a^{2 +\dots +a^{n-1 ={\frac {a^{n -1 {a-1$

نهاية هذا المجموع

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty {\sum _{i=1 ^{n {a^{i =+\infty$

المجموع الثاني

${\displaystyle \sum _{i=0 ^{n {\frac {1 {a^{i ={\frac {1-a^{n+1 {a^{n -a^{n+1 ={\frac {a^{-n -a {1-a$

نهاية هذا المجموع

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty {\sum _{i=0 ^{n {\frac {1 {a^{i =\sum _{i=0 ^{\infty {a^{-i ={\frac {a {a-1$

أمثلة

مثال للدالة الأسية بصفة عامة

تزايد الميكروبات : ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم جميع منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد ثلاثة انقسامات :

N=2³

N=8

فإذا أردنا فهم عدد الميكروبات بعدستة انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N=2⁶

N=64

أي حتى عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

التزايد السكاني :

يبلغ عدد سكان إحدى المدن أربعة ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نخط المعادلة الآتي:

N=4. e^0,025.6

أو :

(N=4. Exp(0,025.6

والنتيجة :

مليون نسمة N=4,647 بعدستة سنوات.

مثال 3 :

تكوّن النجوم : تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة ؟.

N=1. e^0,002.170

N=1. e^0,34

باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة أربعة و1 خلال 170 سنة.

مثال 4:

تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي :

${\displaystyle {\rho =\rho _{b \cdot \exp \left[{\frac {-g_{0 \cdot M\cdot (h-h_{b ) {R^{* \cdot T_{b \right]$

حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض ${\displaystyle \ (h_{b )$.

(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)

اقرأ أيضاً

• الدوال الإبتدائية
• تغير الضغط بالارتفاع
• توزيع بولتزمان
• احصاء ماكسويل-بولتزمان
• تجانس
• اختبار الوحدات

مراجع

دالة أسية في المشاريع الشقيقة

---

• صور وملفات صوتية من كومنز
• خط من ويكي الخط
• دروس من ويكي جامعة.