جمع

جمع التفاحات 3+2=5

الجمع هوعملية رياضية تُبنى عليه فكرة ضم مجموعتين من الأمور في مجموعة واحدة. وتكرار الجمع هوأبسط أنواع العد. والقيام بالجمع هوأحد أبسط المهام العددية، ويمكن للأطفال الذين يبلغ عمرهم خمس سنوات، بل بعض الحيوانات، القيام بها.

علامة الجمع ومصطلحاته

علامة زائد

تُخط عملية الجمع باستخدام + بين العددين، وتكون النتيجة تالية =. قد يسمى هذا الترميز بالترميز المقحم. على سبيل المثال:

{\displaystyle 1+1=2

تُلفظ واحد زائد واحد يساوي اثنين،

{\displaystyle 2+2=4

تُلفظ اثنان زائد اثنان تساوي أربعة،

{\displaystyle 3+3=6

تُلفظ ثلاثة زائد ثلاثة تساوي ستة،

{\displaystyle 5+4+2=11

{\displaystyle 3+3+3+3=12

(انظر إلى الجداء أسفله)

هناك في بعض الأحيان يُفهم وجود جمع برغم عدم وجود علامة زائد:

عندما تكون الأعداد فوق بعضها البعض مع وضح خط تحت العدد الأخير، فعندئذ يُفهم حتى المجموع هوماقد يكون تحت الخط.
وأيضا بالنسبة للكسور فإن وضع الكسر ملاصقا للعدد يعني جمعهما معا مثل: 3½ = ثلاثة + ½ = 3.5.

وتعهد عادة الأعداد المجموعة بالحدود أوالمكونات الجمعية أوالأعداد المضافة.

حدود عملية الجمع اتىت على شكل عمودي. الخط الأفقي يكافئ علامة التساوي والعدد الذي أسفله هوناتج العملية :خمسة + 12 = 17

يمكن حتى يُرمز إلى مجموع متسلسلة باستعمال الحرف الإغريقي سيغما في شكله الكبير، كما يبين المثال التالي:

{\displaystyle \sum _{k=1 ^{5 k^{2 =1^{2 +2^{2 +3^{2 +4^{2 +5^{2 =55.

تفسيرات

يُستخدم الجمع نموذجا للتعبير عن كافة العمليات الطبيعية، وحتى في أبسط حالات إضافة الأعداد الطبيعية، فهناك الكثير من التفسيرات لذلك، وهناك أيضا الكثير من التصويرات المرئية للجمع.

جمع المجموعات

ربما يكمن أكثر تفسيرات الجمع بساطة في فكرة جمع المجموعات: عندما يتم جمع مجموعتين لتصبحان مجموعة مفردة، فإن عدد الأمور الموجودة في المجموعة المفردة يساوي عدد الأمور في المجموعتين الأصليتين. ويمكن بسهولة تصور هذا التفسير على نحومرئي بدون إبهام، وهذا التفسير هام أيضا في المستويات العليا في الرياضيات، إلا أنه يصعب الامتداد به ليضم الأعداد الكسرية أوالأعداد السالبة. إلا أنه للتغلب على هذا النقص يمكن اعتبار الأمور في المجموعة أنها يمكن تقسيمها بسهولة، مثل الفطائر أوالعصي المقسمة، وبدلا من حتى نتصور مجرد جمع الأقسام معا، يمكن تصور وضع العصاتين بحيثقد يكون طرف إحداهما ملاصقا لطرف الأخرى، فيكون الطول الكلي لهما هومجموع طول جميع منها.

مد الطول

تمثيل بياني على شكل مستقيم لعملية الجمع 2 + أربعة = 6. إزاحة بمقدار اثنين فإزاحة بمقدار أربعة تكافئ إزاحة بمقدار ستة.

هناك تفسير آخر للجمع وهوأعطى طول بترة ما بمقدار معين. وعندما يمتد الطول الأصلي بهذا المقدار،قد يكون الطول النهائي للبترة هوالطول الأصلي مجموعا عليه طول الامتداد. ويمكن تصوير ذلك على خط الأعداد، فمثلا بالنسبة لعملية الجمع 2 + أربعة =ستة فهي مكافئة للانتنطق بمقدار 2 على خط الأعداد يتلوها الانتنطق بمقدار 4، فيكون الناتج مساويا لانتنطق بمقدار 6. وعلى هذا المنوال يمكن تفسير مجموع a + b عمليةً ثنائيةً تضيف مقدار b من الوحدات إلى a.

خواص عملية الجمع

الإبدال

شكل يبين كون أربعة + 2 = 2 + 4

الجمع عملية تبديلية. يعني هذا إمكانية عكس أماكن الحدود ويظل الناتج كما هو. مثلا أربعة + 2 = 2 + 4. أورمزيا a + b = b + a. عملية الضرب على سبيل المثال هي أيضا عملية تبديلية. ولكن ليست جميع العمليات الثنائية تبديلية. عمليتا الطرح والقسمة مثالان.

التجميعية

الجمع عملية تجميعية؛ أي عند جمع أكثر من عدد، فإنه يمكن وضع أقواس حول مجموع أي حدين أوأكثر حيث يدمجان معا ويضاف مجموعهما إلى باقي الحدود، ولا يحتلف الناتج باختلاف الحدود المدمجة. فمثلا: 2+(1+3) = (2+1)+3 وأيضا فإن a + b + c يمكن التعبير عنها: a + b) + c) أو(a + (b + c بدون اختلاف في الناتج. ليست جميع العمليات تجميعيةً. عملية الطرح، على سبيل المثال، ليست تجميعية. انظر إلى ترتيب العمليات الحسابية.

المحايد الجمعي

يسمى الصفر العنصر الحيادي للجمع لأنه إذا جمع مع أي عدد آخرقد يكون الناتج هوالعدد نفسه. على سبيل المثال، ${\displaystyle 5=5+0$ وبشكل عام، تخط المعادلة كما يلي:

{\displaystyle a=a+0

المعاكس الجمعي

يسمى a- المعاكس الجمعي لأنه إذا جُمع مع العدد aقد يكون الناتج هوالعنصر المحايد للجمع وهوالصفر. كذلك العدد a هوالمعاكس الجمعي للعدد a-. على سبيل المثال، 4- هوالمعاكس الجمعي للعدد أربعة وأربعة هوالمعاكس الجمعي للعدد 4- لأن ${\displaystyle -4+4=4+-4=0$ . تخط المعادلة بشكل عام كما يلي:

{\displaystyle a+-a=-a+a=0

الوحدات

من أجل إضافة الكميات الفيزيائية بشكل سليم لابد من حتىقد يكون التعبير عن الحدود المجموعة بنفس الوحدات، فلا يمكننا إضافة 520 سم من طول الحبل مثلا إلى ثلاثة أمتار من طوله، فإذن لابد من تحويل أحدهما إلى الوحدة الأخرى. وأيضا لابد من ملاحظة أنه لا يمكن جمع كميات فيزيائية مختلفة، فلا يمكن جمع الوزن والطول معا في أي حال من الأحوال.

الجمع أساسا لباقي العمليات

الجمع هوأساس كافة العمليات الحسابية، فهوأساس عملية الطرح، حيث يعد الطرح عملية جمع القيمة السالبة لعدد ما إلى عدد آخر. ويعد الضرب هوتكرار جمع عدد معين إلى نفسه عددا من المرات. ومن عملية الضرب تنشأ القسمة والأسس واللوغاريتمات وغيرها.

تعميمات

الجمع في الجبر التجريدي

في الجبر الخطي، فضاء متجهي هوبنية جبرية تمكن من جمع المتجهات.

في الحسابيات النمطية، مجموعة الأعداد الطبيعية بتردد 12 هي مجموعة تحتوي على 12 عنصرا (من الصفر إلى 11). ومجموعة الأعداد الطبيعية بتردد 2 هي مجموعة تحتوي على عنصرين فقط هما الصفر والواحد. تُعهد عملية الجمع داخل هاته المجموعة باسم الجبر البولياني.

الجمع في نظرية المجموعات وفي نظرية الأصناف

مراجع

^ "معلومات عن جمع على مسقط jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 25 مايو2019.
^ "معلومات عن جمع على مسقط bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2019.
^ "معلومات عن جمع على مسقط thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 16 ديسمبر 2019.