لانهاية

علامة اللانهاية بأشكال متعددة

حدثة لانهاية (بالإنجليزية: infinity)‏ تدل على "ما لا حدود له" أو"اللامنتهي" أو"غير المحدود" تستخدم بعدة مفاهيم مختلفة لكن يجمع بينها جميعا فكرة واحدة هي "عدم وجود نهاية". من هذا المنطلق فهي ترتبط بالفلسفة والرياضيات والإلهيات والحياة اليومية أيضا.

وأوّل من استخدم الرمز المعروف الآن (∞) لهذا التعبير، كان جون واليس سنة 1655 في مؤلَّفيه: الأوّل De Sectionibus Conicis وبعدها في Arithmetica Infinitorum.

في الثقافة الشعبية، اللانهاية عادة هي شيء يمكن تشبيهه "بأكبر عدد ممكن" أوأبعد مسافة ممكنة، ففي ذهن الكثير يبقى التساؤل: ما بعد اللانهاية، لكن الكثير أصبح يعتبر سؤال ما بعد اللانهاية أمرا سخيفا لأن اللانهاية تمثل رمز لما لا يمكن تخيل ما أكبر منه.

في الرياضيات، اللانهاية تستخدم كعدد تقاس به كمية غير محدود، وبرمز لها بالحرف (∞). وهوكيان مختلف عن أي كيان عددي آخر في خاصياته وسلوكه.

تاريخ

كانت لدى القدماء الكثير من المفاهيم حول طبيعة اللانهاية، إذ لم يكن قدماء الهنود، والإغريق قادرين على التعبير عنها في صورة رياضياتية أكثر منها فلسفية.

تأتي الدلائل التاريخية للانهاية من الممكن في (زينون من إيليا) وتعود في قدمها إلى القرن الرابع قبل الميلاد، أي فلسفة ما قبل سقراط. باللقاء، فإن الهلنستيين فضلوا تمييز اللانهاية الكامنة من اللانهاية الحقيقية. على سبيل المثال، وبدلاً من القول بوجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، فضل إقليدس الاستعاضة عن ذلك بقوله حتى هناك أعداد أولية أكثر من تلك المحتواة في أي مجموعة من الأعداد الأولية. كما حتى دراسات حديثة أشارت إلى حتى أرشيمدس كانت له حدسية بشأن الكميات اللانهائية العملية.

كذلك اتى في مخطوطة هندية قديمة أنه "إذا عزلنا جزء من لا نهاية أوأضفنا جزء إلى لا نهاية، فإن ما يتبقى يظل لا نهائياً". صنف فهماء الرياضيات الهنود في القرن الرابع قبل الميلاد - صنفوا الأعداد إلى ثلاث فئات: معدودة، غير معدودة، ولا نهائية.

خواص اللانهاية

فيما يلي بعضا من خواص اللانهاية:

إذا كان a وb عددين حقيقيين وa موجب فإن النهاية من اليمين هي :

{\displaystyle \lim _{b\to 0^{+ {a \over b =+\infty

في حين حتى النهاية من اليسار هي :

{\displaystyle \lim _{b\to 0^{- {a \over b =-\infty

كميات لا نهائية

حاصل جمع لا نهايتين موجبتين أوأكثر يساوي لا نهاية موجبة: ∞ + ∞ = ∞
حاصل جمع لا نهايتين سالبتين أوأكثر يساوي لا نهاية سالبة: -∞ + -∞ = -∞
حاصل ضرب لا نهايتين موجبتين أوأكثر يساوي لا نهاية موجبة: ∞ × ∞ = ∞
حاصل ضرب لانهاية موجبة في لانهاية سالبة يساوي لا نهاية سالبة: -∞ × ∞ = -∞
حاصل ضرب لانهاية سالبة في لانهاية سالبة يساوي لا نهاية موجبة: -∞ × -∞ = ∞
حاصل ضرب لانهاية وعدد لا صفري يساوي لا نهاية: ∞ × أ = ∞
حاصل قسمة لانهاية على عدد لا صفري يساوي لا نهاية: ∞ ÷ أ = ∞
حاصل قسمة عدد حقيقي على لانهاية يساوي صفر (في حساب النهايات فقط) : أ ÷ ∞ = 0

كميات غير معينه

الفرق بين لا نهايتين موجبتين هوكمية غير فهم: ∞ - ∞ = عدم تعيين
حاصل ضرب لانهاية × صفر هوكمية غير فهم: 0 × ∞ = عدم تعيين
حاصل قسمة لانهاية \ صفر هي كمية غير فهم: ∞ ÷ 0 = عدم تعيين
حاصل ضرب لانهاية سالبة × صفر هوكمية غير فهم: 0 × -∞ = عدم تعيين
حاصل قسمة لا نهايتين هوكمية غير فهم: ∞ ÷ ∞ = عدم تعيين
مالا نهاية مرفوعة للأس صفر كمية غير فهم: ∞⁰ = عدم تعيين
1 مرفوع إلى ما لا نهاية هوكمية غير فهم: 1^∞ = عدم تعيين
حاصل قسمة عدد حقيقي على لانهاية (في غير حساب النهايات) = عدم تعيين

استخدامات

الرمز أوالحرف المعبر عن لانهاية، يستخدم بشكل خاص في:

حساب التفاضل والتكامل
حساب النهايات
أعداد أليف
الصفوف في نظرية المجموعات
مجموعة نهاية-ديديكايند Dedekind-infinite set
الأعداد الترتيبية الكبيرة Large Cardinal
مفارقة راسل
الأعداد الحقيقية الفائقة
الهندسة الإسقاطية
الأعداد الحقيقية الممددة Extended Real Number
اللانهاية المطلقة Absolute Infinite

في الفلسفة، اللانهاية يمكن حتى تنسب لأي فضاء أومكان أوزمان كما في التضاد الأول لكانت. بشكل عام تحاول الفلسفة والإلهيات حتى تستكشف اللانهاية ضمن نقاشها للأعظم والمطلق، والله وأيضا مفارقات زينون، ففي الفلسفة الإغريقية، يعتبر أناكسيماندر اللامحدود هوأصل جميع شيء.

انظر أيضاً

كيانات هندسية لانهائية

مراجع

^ Doric Lensesنسخة محفوظة 2013-01-24 على مسقط واي باك مشين. – Application Note – Axicons – 2. Intensity Distribution. Retrievedسبعة April 2014.
^ Wassim M. Haddad; VijaySekhar Chellaboina (February 17, 2008). . Princeton University Press. صفحة xxv. ISBN . مؤرشف من الأصل في April 4, 2017.
^ "Archived copy". مؤرشف من الأصل في 09 أبريل 2017. اطلع عليه بتاريخعشرة أبريل 2017. صيانة CS1: الأرشيف كعنوان (link)