باق (رياضيات)
عودة للموسوعةفي الرياضيات، الباقي أوباقي القسمة (بالإنجليزية: Remainder) هوالكمية "الباقية" أو"الفاضلة" بعد إجراء عملية حسابية. في الحساب، يعهد الباقي بالعدد السليم المتبقي بعد قسمة عدد سليم على عدد سليم آخر لينتج خارج القسمة. في الجبر، يعهد الباقي بكثيرة الحدود المتبقية بعد قسمة كثيرة حدود على كثيرة حدود أخرى.
قسمة الأعداد السليمة
إذا كان a وd عددين سليمين، وd ≠ 0 ، فإنه يمكن إثبات أنه يوجد عددان سليمان وحيدان q وr، حيث a = qd + r و0 ≤ d| ≥ r| . يطلق على q خارج القسمة، وعلى r الباقي أوباقي القسمة.
راجع خوارزمية إقليدس لبرهان النتيجة السابقة، وخوارزمية التقسيم للإطلاع على خورزمية تصف كيفية حساب الباقي.
ويطلق أحياناً على الباقي كما عهدناه أقل باقٍ موجب.
أمثلة
عند قسمة 43 علىخمسة فإنه لدينا:
- 43 =ثمانية ×خمسة + 3
إذاً ثلاثة هوأقل باقٍ موجب للقسمة.
هذه التعريفات تظل سليمة لقيم d السالبة، على سبيل المثال، طالما قسمة 43 على −5,
- 43 = (−8)×(−5) + 3
حيث ثلاثة أقل باقٍ موجب.
أعداد الفاصلة العائمة
لـa وb أعداد فاصلة عائمة، وd غير صفري، يمكن قسمة a على d بلا باقٍ، ويكون ناتج القسمة عدد فاصلة عائمة آخر. إذا كان ناتج القسمة محصوراً على الأعداد السليمة، فإن مفهوم الباقي لا يزال ضرورياً. يمكن إثبات أنه يوجد خارج قسمة سليم وحيد q وباقي قسمة عدد نقطة عائمة وحيد r بحيث a = qd + r و 0 ≤ d| ≥ r| .
في كثيرات الحدود
القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود مماثلة لدرجة كبيرة للقسمة الإقليدية للأعداد السليمة، ونحصل فيها على باقٍ على صورة كثيرة حدود. يبنى وجوده على المبرهنة التالية: معطاة كثيرتي حدود في متغير واحد (a(x و(b(x (مع كون (b(x كثيرة حدود غير صفرية) فهم على حقل (بالتحديد، الأعداد الحقيقية أوالأعداد المركبة)، فإنه يوجد كثيرتي حدود (q(x (ناتج القسمة) و(r(x (باقي القسمة) والتي تحقق :
حيث
وتشير "(...)deg" إلى درجة كثيرة الحدود. بالإضافة إلى أنه يوجد (q(x و(r(x وحيدتان تحققان هذا التعريف.
المراجع
- ^ Larson & Hostetler 2007، p. 154
انظر أيضا
- مبرهنة الباقي الصيني
- قابلية القسمة
- خوارزمية أقليدس
- قسمة مطولة
- حسابيات نمطية
- مبرهنة تايلور
التصنيفات: نظرية الأعداد, قسمة, مقالات تحتوي نصا بالإنجليزية, بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات
