القُطوعُ المخروطيَّةُ

هذه الموضوعةُ جزءٌ من سلسلةِ القطوع المخروطية
بتر مكافئ
المعادلة	${\displaystyle y^{2 =4ax\,$
الانحراف المركزي(${\displaystyle e$)	${\displaystyle 1\,$
البعد البؤري(${\displaystyle l$)	${\displaystyle 2a\,$
بتر زائد
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2 {a^{2 -{\frac {y^{2 {b^{2 =1$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2 {a^{2$
البعد البؤري(${\displaystyle l$)	${\displaystyle {\frac {b^{2 {a$
بتر ناقص
المعادلة	${\displaystyle {\frac {x^{2 {a^{2 +{\frac {y^{2 {b^{2 =1$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2 {a^{2$
البعد البؤري (${\displaystyle l$)	${\displaystyle {\frac {b^{2 {a$
دائرة (حالة خاصة من البتر الناقص)
المعادلة	${\displaystyle x^{2 +y^{2 =a^{2 \,$
الانحراف المركزي (${\displaystyle e$)	${\displaystyle 0$
البعد البؤري (${\displaystyle l$)	${\displaystyle a$
• ' • ' •

في الرياضيات، البتر المكافئ (وينطق عنه الشلجم والصواب الشلجمي أي ذوشكل الشلجم) هوشكل ثنائي الأبعاد وهوبتر مخروطي، ينشأ من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستوموازٍ لراسم هذا السطح (أي الخط المولد له).

بفهم نقطة معينة تسمى البؤرة ("Focus") وخط مستقيم في المستوى يسمى الدليل ("directrix")، البتر المكافئ هوالمحل الهندسي للنقاط الواقعة في هذا المستوى والتي تبعد عن البؤرة بمسافة مساوية لبعدها عن الدليل. الخط العمودي على الدليل والمار بالبؤرة يسمى "محور التماثل"، ونقطة تقاطع البتر المكافئ مع محور التماثل تسمى رأس البتر المكافئ "vertex". رأس البتر المكافئ هي نقطة تقع عليه يحدث عندها تغير في اتجاه وأطراد الدالة (أي فترات التزايد والتناقص) ويكون عندها ميل المماس مساويًا للصفر. قد يحدث البتر المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أومفتوحًا إلى أسفل أومفتوحًا على اليمين أومفتوحًا على اليسار.

للقطوع المكافئة أهمية كبيرة وتطبيقات متعددة، بداية من مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية إلى تصميم الصواريخ البالستية. كما حتى لها استخدامات كثيرة في الفيزياء والهندسة ومجالات أخرى عديدة.

تاريخ

أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هومعروف حاليا، هومنانخيموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف الكثير من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالبتر المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للبتر المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري.

أوضح جاليليوحتى المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة بتر مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.

قبل اختراع التليسكوب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة البتر المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من فهماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا البتر المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما قام ببناء أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكرية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس البتر المكافئ في أغلب التلسكوبات العاكسة الحديثة، وفي التلسكوبات الفضائية ، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الساتل الصناعية ، ومستقبلات الرادار.

المعادلة في الإحداثيات الديكارتية

إذا افترضنا حتى مرشد البتر المكافئ هوالخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للبتر المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للبتر المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:

${\displaystyle x+p={\sqrt {(x-p)^{2 +y^{2 .$

بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على

${\displaystyle y^{2 =4px\,$

وهي معادلة البتر الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ حتى محور هذا البتر أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل حتى البتر المكافئ أزيح بحيثقد يكون رأسه هوالنقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته

${\displaystyle (y-k)^{2 =4p(x-h)\,$

بتبديل الإحداثيات x وy نحصل على المعادلة اللقاءة للبتر المكافئ رأسي المحور

${\displaystyle (x-h)^{2 =4p(y-k).\,$

المعادلة الأخيرة يمكن كتابتها على الصورة

${\displaystyle y=ax^{2 +bx+c\,$

وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي بتر مكافئ ذومحور رأسي.

وللتعميم أكثر نقول حتى البتر المكافئ هومنحن في المستوى الديكارتي يُعهد بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:

${\displaystyle Ax^{2 +Bxy+Cy^{2 +Dx+Ey+F=0\,$

بحيث حتى

${\displaystyle B^{2 =4AC,\,$

حيث جميع المعاملات حقيقية، وكل من A وB لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما حتى المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط حتى تكونا خطيتين.

تعريفات هندسية أخرى

البتر المكافئ يمكن تعريفه باعتباره بتر مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد السليم؛ نتيجة لذلك تكون جميع القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى حتى لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر البتر المكافئ أيضا نهاية قطوع ناسيرة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى البتر المكافئ باعتباره بتر ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. البتر المكافئ هوأيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي.

للبتر المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع البتر المكافئ تدعى رأس البتر المكافئ. دوران البتر المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعهد بالسطح المكافئي الدوراني.

معادلات

إحداثيات ديكارتية

محور تماثل رأسي

${\displaystyle (x-h)^{2 =4p(y-k)\,$

${\displaystyle y={\frac {(x-h)^{2 {4p +k\,$

${\displaystyle y=ax^{2 +bx+c\,$

حيث

${\displaystyle a={\frac {1 {4p ;\ \ b={\frac {-h {2p ;\ \ c={\frac {h^{2 {4p +k;\ \$

${\displaystyle h={\frac {-b {2a ;\ \ k={\frac {4ac-b^{2 {4a$.

الصورة البارمترية:

${\displaystyle x(t)=2pt+h;\ \ y(t)=pt^{2 +k\,$

محور تماثل أفقي

${\displaystyle (y-k)^{2 =4p(x-h)\,$

${\displaystyle x={\frac {(y-k)^{2 {4p +h;\ \,$

${\displaystyle x=ay^{2 +by+c\,$

حيث

${\displaystyle a={\frac {1 {4p ;\ \ b={\frac {-k {2p ;\ \ c={\frac {k^{2 {4p +h;\ \$

${\displaystyle h={\frac {4ac-b^{2 {4a ;\ \ k={\frac {-b {2a$.

الصورة البارمترية:

${\displaystyle x(t)=pt^{2 +h;\ \ y(t)=2pt+k\,$

بتر مكافئ عام

الصورة العامة للبتر المكافئ هي

${\displaystyle (Ax+By)^{2 +Cx+Dy+E=0\,$

هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:

${\displaystyle Ax^{2 +Bxy+Cy^{2 +Dx+Ey+F=0\,$

وبما أنه للبتر المكافئقد يكون

${\displaystyle B^{2 =4AC\,$.

معادلة البتر المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة

${\displaystyle n_{1 x+n_{2 y+c=0\,$

هي

${\displaystyle {\frac {\left|n_{1 x+n_{2 y+c\right| {\sqrt {{n_{1 ^{2 +{n_{2 ^{2 ={\sqrt {\left(x-u\right)^{2 +\left(y-v\right)^{2 \,$

الوتر البؤري العمودي والإحداثيات القطبية

في الإحداثيات القطبية، البتر المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته

${\displaystyle r(1+\cos \theta )=l\,$

حيث l هونصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى البتر المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ حتى هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس البتر المكافئ أوالمسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum.

الوتر البؤري العمودي هوالوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.

رأس البتر المكافئ

الإحداثي السيني لرأس البتر المكافئ هو${\displaystyle x=-<!--\; -\; -->\frac{b}{2a}}$

${\displaystyle y=a\left(-{\frac {b {2a \right)^{2 +b\left(-{\frac {b {2a \right)+c$

وبالتبسيط:

${\displaystyle ={\frac {ab^{2 {4a^{2 -{\frac {b^{2 {2a +c$

${\displaystyle ={\frac {b^{2 {4a -{\frac {2\cdot b^{2 {2\cdot 2a +c\cdot {\frac {4a {4a$

${\displaystyle ={\frac {-b^{2 +4ac {4a$

${\displaystyle =-{\frac {b^{2 -4ac {4a =-{\frac {D {4a$

وبالتالي نقطة رأس البتر المكافئ هي

${\displaystyle \left(-{\frac {b {2a ,-{\frac {D {4a \right)$

اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل

لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لبتر مكافئ سهل ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:

${\displaystyle y=ax^{2 \,\!$

فإن أي نقطة على البتر المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل البتر المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على البتر المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و(x,-f).

أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على البتر المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على البتر المكافئ إلى الدليل ويبتره في النقطة Q.

المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x وf-y (المسافة الرأسية بين F وP)،قد يكون طول وتره

${\displaystyle \|FP\|={\sqrt {x^{2 +(f-y)^{2 \,\!$

(لاحظ حتى ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.)

طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).

${\displaystyle \|QP\|=f+y\,\!$

هاتان البترتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي

${\displaystyle \|FP\|=\|QP\|\,\!$

${\displaystyle {\sqrt {x^{2 +(f-ax^{2 )^{2 =f+ax^{2 \,\!$

بتربيع الطرفين

${\displaystyle x^{2 +(f^{2 -2ax^{2 f+a^{2 x^{4 )=(f^{2 +2ax^{2 f+a^{2 x^{4 )\,\!$

بطرح الحدود المتشابهة من الطرفين

${\displaystyle x^{2 -2ax^{2 f=2ax^{2 f\,\!$

${\displaystyle x^{2 =4ax^{2 f\,\!$

بقسمة x² من الطرفين (بفرض حتى x لا تساوي الصفر)

${\displaystyle 1=4af\,\!$

${\displaystyle f={1 \over 4a \,\!$

وبالتالي للبتر المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼)

كما ذكر أعلاه، هذا هواشتقاق النقطة البؤرية لبتر مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي بتر مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية

${\displaystyle y=ax^{2 +bx+c\,\!$,

بؤرته تقع عند النقطة

${\displaystyle \left({\frac {-b {2a ,{\frac {-b^{2 {4a +c+{\frac {1 {4a \right)\,\!$

والتي يمكن كتابتها على الصورة

${\displaystyle \left({\frac {-b {2a ,c-{\frac {b^{2 -1 {4a \right)\,\!$

والدليل يعطى بالعلاقة

${\displaystyle y={\frac {-b^{2 {4a +c-{\frac {1 {4a \,\!$

والتي يمكن حتى تخط على الصورة

${\displaystyle y=c-{\frac {b^{2 +1 {4a \,\!$

في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا

مرايا مرصد كيك

مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، جميع منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل بتر زائد . معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل البتر المكافيء، ويصل قطر بعضها نحوثمانية متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة . تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعهد الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون .

كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل البتر المكافيء.

كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل بتر مكافيء لاستقبال وهجريز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات .

لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة.

معرض صور

اقرأ أيضا

• سطح مكافئ
• بتر ناقص
• بتر زائد
• مرآة بتر مكافيء

مراجع