تصلبي

يكون النظام الميكانيكي تصلبيًا (بالإنجليزية: Scleronomous)‏ إذا كانت معادلات القيود لا تحتوي على الزمن باعتباره متغير صريح. مثل هذه القيود تُسمى قيود تصلبية.

الاستخدام

في المجال ثلاثي الأبعاد، يتمتع الجزيء الذي لديه كتلة ${\displaystyle m\,\!$ ، وسرعة ${\displaystyle \mathbf {v \,\!$ بالطاقة الحركية

{\displaystyle T={\frac {1 {2 mv^{2 \,\!.

السرعة هي مشتق المركز مع الوقت ذي الصلة. استخدم قاعدة السلسلة لعدة متغيرات:

{\displaystyle \mathbf {v ={\frac {d\mathbf {r {dt =\sum _{i \ {\frac {\partial \mathbf {r {\partial q_{i {\dot {q _{i +{\frac {\partial \mathbf {r {\partial t \,\!.

وبالتالي،

{\displaystyle T={\frac {1 {2 m\left(\sum _{i \ {\frac {\partial \mathbf {r {\partial q_{i {\dot {q _{i +{\frac {\partial \mathbf {r {\partial t \right)^{2 \,\!.

ومع إعادة ترتيب الأطراف بعناية،

{\displaystyle T=T_{0 +T_{1 +T_{2 \,\!:

{\displaystyle T_{0 ={\frac {1 {2 m\left({\frac {\partial \mathbf {r {\partial t \right)^{2 \,\!,

{\displaystyle T_{1 =\sum _{i \ m{\frac {\partial \mathbf {r {\partial t \cdot {\frac {\partial \mathbf {r {\partial q_{i {\dot {q _{i \,\!,

{\displaystyle T_{2 =\sum _{i,j \ {\frac {1 {2 m{\frac {\partial \mathbf {r {\partial q_{i \cdot {\frac {\partial \mathbf {r {\partial q_{j {\dot {q _{i {\dot {q _{j \,\!,

حيث إذا ${\displaystyle T_{0 \,\!$ , ${\displaystyle T_{1 \,\!$ , ${\displaystyle T_{2 \,\!$ هي على التوالي دوال متجانسة للدرجة 0 و1 و2 في السرعات المعممة. إذا كان هذا النظام تصلبيًا، لذا فإن الوضع لا يعتمد بشكل صريح على الوقت:

{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r {\partial t =0\,\!.

وبالتالي، فقط الطرف ${\displaystyle T_{2 \,\!$ لا يتلاشى:

{\displaystyle T=T_{2 \,\!.

الطاقة الحركية هي دالة متوافقة من الدرجة 2 في سرعات معممة.

مثال: البندول

كما هومبين على اليسار، البندول هونظام يتألف من ثقل ووتر. يرتبط الوتر بالطرف الأعلى من المحور وفي الطرف الأسفل يرتبط بالثقل. ولكونه غير قابل للتمديد، فإن طول الوتر ثابت. وبالتالي فإن هذا النظام هوتصلبي (scleronomous)؛ فهويطيع القيد التصلبي

{\displaystyle {\sqrt {x^{2 +y^{2 -L=0\,\!,

حيث إذا ${\displaystyle (x,y)\,\!$ هوموضع الثقل و ${\displaystyle L\,\!$ هوطول الوتر.

خذ مثالاً أكثر تعقيدًا. ارجع إلى الشكل التالي على اليسار، وافترض حتى الطرف العلوي من الوتر مثبت بنقطة محورية تخضع لحركة توافقية بسيطة

{\displaystyle x_{t =x_{0 \cos \omega t\,\!,

حيث إذا ${\displaystyle x_{0 \,\!$ هوالمدى، ${\displaystyle \omega \,\!$ هوالتردد الزاوي، و ${\displaystyle t\,\!$ هوالوقت.

وعلى الرغم من حتى الطرف العلوي من الوتر غير مثبت، إلا حتى طول هذا الوتر غير القابل للتمديد يُعتبر ثابتًا. والمسافة بين الطرف العلوي والثقل يجب حتى تظل كما هي. وبالتالي فإن هذا النظام هورينومي (rheonomous)؛ فهويطيع القيد الرينومي