ترابط تلقائي

الترابط التلقائي أودالة الارتباط الذاتية هوأداة رياضية تستخدم في إيجاد النماذج المتكررة كإيجاد الإشارات الدورية التي كانت قد اختفت بتأثير التشويش، كما توجد كثيراً في معالجة الإشارات لتحليل الوظائف أومجموعة من القيم، مثل إشارات مجال الوقت.كما يعهد بشكل غير رسمي على أنه قوام وجود علاقة بين المشاهدات باعتبارها دالة لانفصال الوقت بينهما. الترابط التلقائي مفيد لإيجاد أنماط التكرار في إشارة ما.

تُبين دالة الارتباط الذاتي مدى ارتباط قيم السلسلة المتجاورة حيث تتراوح قيمة معامل الارتباط الذاتي بين -1، 1، في حالة استقرار السلسلة تكون قيمة أومختلف عنه معنويا بالنسبة لأي فجوة k>0 مما يعني قبول فرضية انعدام معاملات الارتباط الذاتي .

معاملات الارتباط الذاتي لها توزيع طبيعي ذووسط حسابي 0 وتباين T/1، وترمز T إلى عدد المشاهدات المتغير. فإذا أردنا مثلا حتى نقارن القيمة المحتسبة والجدولية لقانون التوزيع الطبيعي المعياري عند درجة ثقة معينة (مثلا 95%)، فإذا كانت القيمة المحتسبة اصغر من القيمة الجدولية فإننا سنقبل فرضية العدم (بأن معامل بارلات بدرجة إبطاء k يساوي 0 والعكس يختلف جوهريا تماما عن 0).

تعريف

الترابط التلقائي في الإحصاء

يصف الترابط التلقائي لعملية عشوائية في الإحصاء الترابط بين العملية عند عدة نقاط من الزمن. مثلاً ليكن X_t هوقيمة العملية عند الزمن t، إذا كان لX_tمتوسط μ_t وتباين σ_t² عندها من الممكن تعريف الارتباط التلقائي بالشكل:

{\displaystyle R(t,s)={\frac {\operatorname {E [(X_{t -\mu _{t )(X_{s -\mu _{s )] {\sigma _{t \sigma _{s \,

حيث "E" هي معامل القيمة المتسقطة. لاحظ حتى هذه العلاقة لا تكون سليمة في جميع الحالات حيث حتى قيمة σ_t² قد تصبح مساوية للصفر من أجل عملية ثابتة. إذا كان R فهم بشكل سليم ستتراوح قيمتها في المجال بين [−1, 1]، حيث تشير القيمة 1 إلى الترابط المطلق، وتشير القيمة −1 إلى اللاترابط.

إذا كان X_t هوعملية ثابتة فهذا يعني حتى المتوسط μ والتباين σ² هما مستقلان عن الزمن وبالتالي فإن الترابط التلقائيقد يكون معتمداً فقط على الفرق بين t وs، أي حتى الترابط التلقائي يعتمد على المسافة الزمنية بين القيمتين وليس على مسقطهما على محور الزمن. وهذا يؤدي إلى التعبير عن الترابط التلقائي على أنه تابع للزمن وسيكون دالة زوجية للزمن τ = t − s. وهذا سيؤدي إلى الصيغة الأكثر شهرة للترابط التلقائي

{\displaystyle R(\tau )={\frac {\operatorname {E [(X_{t -\mu )(X_{t+\tau -\mu )] {\sigma ^{2 \,

ومن الممكن التعبير عن حقيقة حتى الترابط التلقائي هودالة زوجية على الشكل:

{\displaystyle R(\tau )=R(-\tau ).\,

يتم عادة إسقاط عملية التسليم على σ² واستخدام المصطلح "ترابط تلقائي" بشكل مرادف للمصطلح "تغاير تلقائي". إلا حتى التسليم ذوأهمية بسبب تفسير الترابط التلقائي على أنه ترابط يزود بأداة قياس دون مقياس لقوة الاستقلال الإحصائي وبسبب حتى التسليم له تأثير على الخصائص الإحصائية للترابط التلقائي المتسقط.

يتم الحصول على الترابط التلقائي لعملية متبترة بمسرد ${\displaystyle {\mathcal { n$ ذات

متوسط ${\displaystyle {\mathcal { \lbrace X_{1 ,X_{2 ,...,X_{n \rbrace$ وتباين معروفين بالعلاقة:

{\displaystyle {\hat {R (k)={\frac {1 {(n-k)\sigma ^{2 \sum _{t=1 ^{n-k [X_{t -\mu ][X_{t+k -\mu ]

الترابط التلقائي في معالجة الإشارة

في مجال معالجة الإشارة يستخدم التعريف السابق عادة بدون تسليم، أي بدون القسمة على المتوسط أوالتباين.

من أجل إشارة معطاة f(t) يعطى الترابط التلقائي المستمر R_ff(τ) على شكل تكامل الترابط التلقائي للإشارة f(t) مع نفسها على طول الفترة الزمنية τ.

{\displaystyle R_{ff (\tau )={\overline {f (-\tau )*f(\tau )=\int _{-\infty ^{\infty f(t+\tau ){\overline {f (t)\,dt=\int _{-\infty ^{\infty f(t){\overline {f (t-\tau )\,dt

حيث ${\displaystyle {\bar {f =f$

يعطى الترابط التلقائي المتبتر R عند الزمن j لإشارة متبترة x_n بالعلاقة:

{\displaystyle R_{xx (j)=\sum _{n x_{n {\overline {x _{n-j \ .

تطبيقات

أحد تطبيقات الترابط التلقائي هوفي قياس الطيف المرئي وقياس نبضات الضوء الصادرة من الليزر باستخدام الترابط التلقائي الضوئي.
في معالجة الإشارة، قد يعطي الترابط التلقائي معلومات عن تكرار الأحداث مثل الضربات الموسيقية.