استخطاط

في الرياضيات, الإخطاط (بالإنجليزية: linearization)‏ هوعملية الهدف منها تقريب معادلة أونظام حركي غير خطي الذي يوصف بمعادلات تفاضلية غير خطية بنظام حركي خطي، وذلك لما تحمله النظم الخطية من سهولة في المعالجة. تستخدم هذه الطريقة في الكثير من فروع العلوم مثل الهندسة التطبيقية والفيزياء والاقتصاد وفهم البيئة.

إخطاط دالة

مثال:اخطاط دالة (sin(x عند نقطتين
بالأزرق:

{\displaystyle x_{0 =0

بالأخضر:

{\displaystyle x_{0 ={\frac {3\cdot \pi {4

إخطاط دالة هوتعبير عن خط مستقيم يستخدم في أغراض تبسيط الحساب. عادة يتم إخطاط أي دالة ${\displaystyle {\mathcal { y=f(x)$ عند نقطة ${\displaystyle {\mathcal { x=b$

يعطى إخطاط لدالة مستمرة عند النقطة ${\displaystyle {\mathcal { x=a$ بالمعادلة:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(x-a)\,$

حيث ${\displaystyle {\mathcal { f(x)$

مثال

على سبيل المثال، قد تفهم حتى ${\displaystyle {\sqrt {4.001 ={\sqrt {4+.001$

من أجل إيجاد قيمة ${\displaystyle {\sqrt {4.001$ ، نستخدم معهدتنا بأن ${\displaystyle {\sqrt {4 =2$ . وعندهاقد يكون إخطاط ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x$ عند النقطة

${\displaystyle {\mathcal { x=a$

${\displaystyle y={\sqrt {a +{\frac {1 {2{\sqrt {a (x-a)$

، لأن الدالة ${\displaystyle f'(x)={\frac {1 {2{\sqrt {x$ تعهد ميل الدالة ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x$ عند ${\displaystyle {\mathcal { x$ . وبتعويض قيمة ${\displaystyle {\mathcal { a=4$ ،قد يكون إخطاط عند ${\displaystyle {\mathcal { 4$ مساوياً ${\displaystyle y=2+{\frac {x-4 {4$ . وفي هذه الحالة ${\displaystyle {\mathcal { x=4.001$ ، إذاً ${\displaystyle {\sqrt {4.001$ يساوي تقريباً

${\displaystyle 2+{\frac {4.001-4 {4 =2.00025$ . القيمة الحقيقية قريباً جداً من ${\displaystyle {\mathcal { 2.00024998$ ؛ وبهذاقد يكون تقريب إخطاط ذوخطأ أقل من 1 بالمليون بالمائة.