المضاءلة أوالتخميد هوأي تأثير، ناتج عن تغيير خارجي أوموجود متأصل في نظام معين، يعمل على تقليل سعة الذبذبات، وفي الإلكترونيات ينطق تخميد مطال التردد حيث يُقاس مطال التردد بالفولت أوبالأمبير.

في الرياضيات التطبيقية، التخميد نموذج رياضي كقوة بسعة تتناسب مع سرعة الجسم ولكن في عكس اتجاهها.

وفى آلات العزف الوترية مثل الجيتار والقيثارة والجيتار المعدني، التخميد يعنى إسكات صوت الوتر بعد صدور الصوت منه، بالضغط عليه بقاعدة الريشة أوبأي من أصابع اليد الموجودة على واحد أوأكثر من الأوتار الأخرى.

ويكون النظام المثالي لنظام كتلة-زُنبورك-مخمـّد له كتلة ${\displaystyle {\mathcal { [m]=1kg$، ثابت الياي ${\displaystyle [k]=1{\frac {N {m$، وثابت المخمـّد ${\displaystyle [b]=1{\frac {Ns {m$،

وهنا تأتي المساواة ${\displaystyle {\Bigg [ {\frac {k {m {\Bigg ] =1{\frac {1 {s^{2 =1s^{-2$ من أجل ما تجاوز التي تؤدّي إلى ${\displaystyle {\frac {k {m =\omega _{0 ^{2$ ، وهذا سيلعب دور في الحسابات التالية تحت.

يمكن وصف حركة النظام بالمعادلة الآتية :

${\displaystyle {\begin{matrix F_{spring &=&-kx\\F_{damper \ &=&-b{\dot {x =-b{\frac {dx {dt \\\Sigma \ F\ &=&m{\ddot {x =m{\frac {d^{2 x {dt^{t \end{matrix$

حيث ${\displaystyle {\mathcal { x$ هي إزاحة مركز الكتلة في أي زمن ${\displaystyle {\mathcal { t$. ويمكن دمج هذه المعادلة إلى:

${\displaystyle m{\ddot {x +b{\dot {x +kx=0$

وهذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في ${\displaystyle {\mathcal { t$. ويمكن حلها بفرض ${\displaystyle {\mathcal { x=e^{\gamma t$، وعندئذ نحصل على المعادلة المميــّـزة:

${\displaystyle {\mathcal { m\gamma ^{2 +b\gamma +k=0$

والتي يمكن حلها إلى:

${\displaystyle \gamma _{1,2 ={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2 -4mk {2m =-{\frac {b {2m \pm {\sqrt {{\Bigg ( {\frac {b {2m {\Bigg ) ^{2 -\omega _{0 ^{2$

وعلى هذا الأساس يـُـكتسـَـب الحل العام للمعادلة التفاضلية نحو

${\displaystyle x(t)=C_{1 e^{\gamma _{1 t +C_{2 e^{\gamma _{2 t$

عندما ${\displaystyle {\mathcal { C_{1$ و${\displaystyle {\mathcal { C_{2$ يـُـحسبان من شروط القيم البدائية.

تصرّف النظام الميكانيكي بالإحالة إلى الاِهتزاز هوتابع لوضع التعبير تحت رمز الجذر، أي إذا كان موجب أوسالب أويساوي صفر. فعندماقد يكون ${\displaystyle {\mathcal { {\Bigg ( {\frac {b {2m {\Bigg ) ^{2 -\omega _{0 ^{2 =0$ تكون ${\displaystyle {\mathcal { \gamma$ حقيقية وتوفــّـر حل واحد للمعادلة التفاضلية فقط ، ويتصف النظام بتخميد حرج الذي ينبغي حتى يـُـسمـّـى ${\displaystyle {\mathcal { b_{crit$. من أجل ذلك تأتي المساواة

${\displaystyle {\frac {b_{crit {2m -\omega _{0 =0$

وتلك تؤدّي إلى ${\displaystyle b_{crit =2m\omega _{0 =2{\sqrt {km$.

و${\displaystyle {\frac {b {2m ={\frac {b {b_{crit \cdot {\frac {b_{crit {2m ={\frac {b {b_{crit \omega _{0 =\zeta \omega _{0$ يؤدّي إلى انعزال ما في داخل السابق :

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=b/b_{crit}=b/(2\sqrt{km})}$

وإدخال السابق في حلول المعادلة المميــّـزة يؤدّي إلى :

${\displaystyle \gamma _{1,2 =\omega _{0 (-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2 -1 )$

وهنا يجب التفريق إلى قضايا عدّة :

• قضية ${\displaystyle {\mathcal { \zeta <1$ :

${\displaystyle {\sqrt {-1 =j$ يعطي ${\displaystyle \gamma _{1,2 =\omega _{0 (-\zeta \pm j{\sqrt {1-\zeta ^{2 )$

إدخال ذلك في الحل العام من المعادلة التفاضلية يعطي

${\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0 t (C_{1 e^{j{\sqrt {1-\zeta ^{2 \omega _{0 t +C_{2 e^{-j{\sqrt {1-\zeta ^{2 \omega _{0 t )$

مع الصيغات ${\displaystyle e^{\pm j\alpha =cos\alpha \pm jsin\alpha$

و${\displaystyle \omega _{0 {\sqrt {1-\zeta ^{2 =\omega _{d$ يــُـكتـســَـب

${\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0 t (Asin\omega _{d t+Bcos\omega _{d t)$

وشروط القيم البدائية ${\displaystyle {\mathcal { x(0)=x_{0$ وأيضاً ${\displaystyle {\dot {x (0)={\dot {x _{0$ تؤدّي إلى :

${\displaystyle x(t)=e^{-\zeta \omega _{0 t {\Bigg ( x_{0 cos\omega _{d t+{\frac {{\dot {x _{0 +\zeta \omega _{0 x_{0 {\omega _{d sin\omega _{d t{\Bigg )$

• قضية ${\displaystyle {\mathcal { \zeta =1$ :

هذا الوضع يعطي جذر واحد فقط ، وهو${\displaystyle {\mathcal { \gamma =-\zeta \omega _{0 =-\omega _{0$ ، ولذلك دالـّـة المحاولة (trial function)

${\displaystyle {\mathcal { x_{1 (t)=e^{\gamma t =e^{-\omega _{0 t$ لا تكفي لتحل ّ المعادلة التفاضلية ؛ وإضافة دالـّـة محاولية ثانية من نوع ${\displaystyle x_{2 (t)=te^{-\omega _{0 t$ تساعد في وضع مثل هذا ؛ ومع ${\displaystyle {\mathcal { b=b_{crit =2m\omega _{0$ تنجز المعادلة التفاضلية التي تتــّـخذ الشكل

${\displaystyle {\ddot {x +2\omega _{0 {\dot {x +\omega _{0 ^{2 x=0$

إذاً الدالـّـة المحاولية الكاملة تأتي بالشكل ${\displaystyle x(t)=C_{1 e^{-\omega _{0 t +C_{2 te^{-\omega _{0 t$

وإدخال شروط القيم البدائية ${\displaystyle {\mathcal { x(0)=x_{0$ وأيضاً ${\displaystyle {\dot {x (0)={\dot {x _{0$ تؤدّي إلى :

${\displaystyle {\mathcal { C_{1 =x_{0$ وأيضاً ${\displaystyle C_{2 ={\dot {x _{0 +x_{0 \omega _{0$

${\displaystyle x(t)=[x_{0 +({\dot {x _{0 +\omega _{0 x_{0 )t]e^{-\omega _{0 t$

يوصل التخميد إلى شدّة هنا حتي يبدأ بقهر التذبذب بشكل كامل.

• قضية ${\displaystyle {\mathcal { \zeta >1$ :

${\displaystyle {\mathcal { \gamma _{1$ و${\displaystyle {\mathcal { \gamma _{2$ يمثــّـلان قيم سالبة وحقيقية مع ${\displaystyle {\mathcal { |\gamma _{1 |<\omega _{0$ وأيضاً ${\displaystyle {\mathcal { |\gamma _{2 |>\omega _{0$ ؛ وهذا يعبـّـر عن تخميد شديد ، وهوأقوى من تخميد القضية السابقة ؛ ولا يسمح بظهور التذبذب.

التخميد في الإلكترونيات

عندما نسمع الراديوويكون عالي الصوت نلجأ إلى مفتاح تخفيض الصوت ونديره حتي نصل إلى مستوي الصوت المرغوب فيه. والمفتاح متصل بمقاومة متغيرة في دائرة الراديوالكهربية. وبتغيير تلك المقاومة يتغير الجهد الواقع عليها وبذلك يصدر الصوت بالشدة التي نرغبها. وتتميز الدائرة الكهربية بما يسمى معامل التخميد.

انظر أيضا

• دائرة رنان توافقي
• هزاز توافقي
• تجاوز الحد (إشارة)

مصادر ومراجع

• Christopher F. Beards: Structural vibration: analysis and damping. E. Arnold, London 1996, ISBN 0-340-64580-6
• Chang T. Sun, Yeh-Pei Lu: Vibration damping of structural elements. Prentice Hall, Englewood Cliffs 1995, ISBN 0-13-079229-2
• Giancarlo Genta: Vibration of structures and machines: practical aspects. 3rd ed., Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98506-9
• Clarence W. De Silva: Vibration damping, control and design. CRC Press, Boca Raton, FL 2007, ISBN 978-1-4200-5321-0