متوسط حسابي هندسي

في الرياضيات، يعهد المتوسط الحسابي الهندسي (بالإنجليزية: Arithmetic–geometric mean)‏ لعددين حقيقيين موجبين x وy على النحوالتالي:

نسمي $x$ و $y$ : $a 0$ و $g 0$ :

{\displaystyle {\begin{aligned a_{0 &=x,\\g_{0 &=y.\end{aligned

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين $(a n)$ و $(g n)$ كـ:

{\displaystyle {\begin{aligned a_{n+1 &={\tfrac {1 {2 (a_{n +g_{n ),\\g_{n+1 &={\sqrt {a_{n g_{n \,,\end{aligned

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x وy ؛ يُشار إليه بـ $M (x, y)$ ، أوأحيانًا بـ $agm(x, y)$ .

يستخدم الوسط الهندسي الحسابي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب .

الأمثلة

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ $a 0 = 24$ و $g 0 = 6$ ، نكرر ما يلي:

{\displaystyle {\begin{array {rcccl a_{1 &=&{\tfrac {1 {2 (24+6)&=&15\\g_{1 &=&{\sqrt {24\cdot 6 &=&12\\a_{2 &=&{\tfrac {1 {2 (15+12)&=&13.5\\g_{2 &=&{\sqrt {15\cdot 12 &=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

$n$	$a n$	$g n$
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

يتضاعف عدد الأرقام $a n$ و $g n$ المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع جميع تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 وستة هوالحد المشهجر لهتين المتتاليتين، وهوتقريبا:

13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

نبذة تاريخية

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. تم تحليل خصائصه من قبل غاوس.

خصائص

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لاقد يكون أكبر من المتوسط الحسابي. ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى $n > 0$ ، $(g n)$ هي متتالية متزايدة، $(a n)$ هي متتالية متناسيرة، و $g n \leq M (x, y) \leq a n$ . هذه هي متباينة بترية إذا كان $x \neq y$ .

وبالتالي فإن $M (x, y)$ هوعدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x وy؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان $r \geq 0$ ، فإن $M (rx, ry) = r M (x, y)$ .

هناك الشكل التكاملي لـ $M (x, y)$ :

{\displaystyle {\begin{aligned M(x,y)&={\frac {\pi {2 \div \int _{0 ^{\frac {\pi {2 {\frac {d\theta {\sqrt {x^{2 \cos ^{2 \theta +y^{2 \sin ^{2 \theta \\&={\frac {\pi {4 \cdot {\frac {x+y {K\left({\frac {x-y {x+y \right) \end{aligned

حيث $K (k)$ هوالتكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول:

{\displaystyle K(k)=\int _{0 ^{\frac {\pi {2 {\frac {d\theta {\sqrt {1-k^{2 \sin ^{2 (\theta )

في الواقع، بما حتى العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.

مراجع

^ agm(24, 6) at ولفرام ألفا نسخة محفوظة 2020-04-09 على مسقط واي باك مشين.

تاريخ النشر: 2020-06-01 21:37:57
التصنيفات: دوال إهليلجية, دوال خاصة, متوسطات, قالب أرشيف الإنترنت بوصلات واي باك, مقالات يتيمة منذ أبريل 2020, جميع المقالات اليتيمة, جميع المقالات التي بحاجة لصيانة, مقالات تحتوي نصا بالإنجليزية, بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, بوابة تحليل رياضي/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات