تحاك

التحاكي (بالإنجليزية: Homothetic transformation)‏ هوعملية نقل رياضي لفضاء ما، بحيث ينقل جميع خط إلى خط مواز. جميع توسع يشكل زمر في الفضاء الاقليدي أوالفضاء الأفيني. من أشهر الأمثلة للتوسع هي الانزلاق، الدوران النصفي والدالة المتطابقة.

في الهندسة الأقليدية، نسبة التكبير هي قيمة مفردة c والتي تستعمل لحساب نسبة التوسع من خلال ضرب جميع قيمة بها. وتسمى أيضا: معامل التوسيع أونسبة الشبه. ويمكن تسمية عملية النقل هذه بالتضخيم . وبشكل أعم، فيمكن ل c حتى تكون سالبة، وفي هذه الحالة، تضرب جميع المقادير بـ ${\displaystyle |c|$ كما تقوم بعكس جميع النقاط بالنسبة لنقطة ثابتة.

لشرح المبدأ بمعادلة، فافترض وجود مركز أومصدر c وعدد حقيقي ${\displaystyle c$ (ممكن حتىقد يكون سالبا). فإن التحاكي ${\displaystyle h_{A,c$ تنقل جميع نقطة M إلى نقطة أخرى ${\displaystyle M'$ بحيث: ${\displaystyle A-M'=c(A-M)\!$

التحاكي هوعملية نقل أفيني وبنفس الوقت هي عملية نقل تشابه حيث تضاعف جميع المسافات بـ ${\displaystyle |c|$ وكل المساحات بـ ${\displaystyle c^{2$ . أما إذا كانت نقطة المصدر هي نفسها نقطة المركز، فتعد كنقل خطي.

تطبيقات

علاقات التحاكي

إحدى تطبيقات المفهوم هي علاقة التحاكي R والتي تعتبر كذلك إذا كان: لكل ${\displaystyle a$ بحيث ${\displaystyle a\in \mathbb {R$

${\displaystyle a>0,xRy\Rightarrow axRay.$ ومن التطبيقات الاقتصادية لهذه المعادلة حتى الدالة البديلة المتجانسة بدرجة 1 تطابق علاقة أفضلية تحاك .

تطبيقات اقتصادية

في فهم الاقتصاد، دالة التحاكي التي تفصل إلى دالتين: الدالة الخارجية (U(x وهي دالة تحاك من الدرجة 1 ودالة داخلية (f(y وهي دالة متزايدة رتيبة، فإن (U(f(y هي دالة تحاك.

في الهندسة الوصفية

وبالإشارة إلى التمرين المبين في الشكل 2 (انقر الرابط)، من المهم فهم انه بمجرد ما تم تحديد واحد من الشكلين المتقابلين، نقوم بتكراره عن طريق استخدام مثلا العلاقة التقابلية التي تسمى تحاك أوتحول متماثل (Homothetic transformation). فهما بأن جميع أنواع العلاقات التقابلية تتميز بما يلي:

تصطف جميع النقاط المتقابلة، مثل A, A' وB,B' مع نقطة U تسمى مركز التقابل
تلتقي جميع الخطوط المتقابلة مثل AB وA على خط يسمى محور التقابل.

وعندما تكون الاشكال المتقابلة متشابهة كما في المثال المرفق، تسمى العلاقة التقابلية تحاكي . التي تتميز بكون محور التقابل خط لانهائي، وهذا يعني ان الخطوط المتقابلة مثل A-B ، A'B تكون متوازية لبعضها البعض. على سبيل المثال وبعد الانتهاء من تحديد الشكل الملون بالأصفر، وبهدف تحديد الشكل اللقاء له (الملون بالأخضر) ، نقوم بتعيين زوجين من النقاط المتقابلة، مثل A ، A 'وB ، B' .. ومن ثم نشرع بتحديد مركز التقابل U كنقطة تقاطع بين الخطوط التي تمر بتلك النقاط . مثلا لتحديد النقطة C'، نقوم بتوصيلها مع نقطة B معلومة النقطة اللقاءة لها B'. إلى غير ذلك نحصل على الخط r'. الخط r' اللقاء للخط r يمر بالنقطة B' ويكون ايضا موازي للخط r. وأخيرا نحدد النقطة المطلوبة B' كتقاطع بين r' والخط U-B وبطريقة مماثلة للخطوات السابقة من الممكن تحديد جميع نقاط الشكل الأخضر

علاقة تقابلية (تشابه) بين اثنين من الإسقاطات لمبتر مخروطي اجري بمستوى موازي لمستوى الإسقاط

مراجع

^ "معلومات عن تحاك على مسقط mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 31 مارس 2019.
^ "معلومات عن تحاك على مسقط thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 14 ديسمبر 2019.