مجموع (علم الحساب)
عودة للموسوعةفي الرياضيات، مَجْموع عدديْن هونتيجة جَمْعِهِما. يمكن حسابه بطرق مختلفة اعتماداً على نظام العد المستخدم. حيث حتى عملية الجمع تبادلية وتجميعية، يُعرّف مجموع مجموعة منتهية بغض النظر عن ترتيب الأعداد في عملية الجمع، ولكن لا توجد دائمًا صيغة موحدة للتعبير عنه. ترتبط الطرق المستخدمة للحصول على هذه الصيغ بدراسة السِّلْسِلات العددية.
يرمز لمجموع متتاليات من الأعداد بالرمز
تسمى نهاية السلسلة أيضًا بالمجموع، حتى إذا لم يتم الحصول عليها مباشرةً من خلال جمع الحدود.
الترميز
يَسْتخدِم الترميز الرياضي رمزًا يمثل مجموع متتالية من الحدود: رمز المجموع Σ هوشكل مكبّر لحرف اللغة اليونانية سيغما، يُعَرّفُ على النحوالتالي:
حيث i هومؤشر الجمع. ai هومتغير يمثل جميع رقم متتالي في السلسلة؛ m هوالحد الأدنى للجمع، وn هوالحد الأقصى للجمع. " i = m " جزء من رمز الجمع، ويعني حتى المؤشر i يبدأ بقيمة m. يزداد المؤشر i ب 1 في جميع تكرار، ويتوقف عند i = n .
هذا مثال يبين مجموع مربعات الأعداد
التعبير التالي:
هومجموع على جميع الأعداد السليمة في ترتيب معين.
التعريف الرسمي
يمكن تعريف المجموع غالباً على النحوالتالي:
- ، لكل b < a.
- ، لكل b ≥ a.
أمثلة
مجموع الأعداد السليمة
لكل عدد سليم n، مجموع الأعداد السليمة من 1 إلى n هو:
يمكن التحقق من هذا التعبير عن طريق الاستدلال بمبدأ التَّرَجع (الاستقراء) على n: يرمز التعبير S n لمجموع الأعداد السليمة من 1 إلى n. الصيغة Sn = n ( n+1)/2 سليمة عند n = 1 وإذا كانت سليمة عند الرتبة n-1 فإنها سليمة عند الرتبة n لأن:
مجموع الأعداد السليمة الفردية
لكل عدد سليم n أكبر من 1، مجموع n من الأعداد السليمة الفردية هوn² :
أمثلة :
- 1 = 1²،
- 1 + ثلاثة = 2²،
- 1 + ثلاثة +خمسة = 3² ، إلخ.
لكل عدد سليم n، مجموع n من الأعداد السليمة المربعة يحقق المتساوية التالية:
المراجع
- ^ Pour un exposé détaillé sur la notation de la sommation, et l'arithmétique avec sommes, voir رونالد غراهام; دونالد كانوث; أورين باتاشنيك (1994). "Sums". (PDF) (باللغة الإنجليزية). أديسون-ويسلي . ISBN . .
- ^ ونفس الشيء بالنسبة ل n = 0، ومن البديهي حتى المجموع الفارغ S0 منعدم.
انظر أيضا
- جمع
- الجداء
- ترميز رياضي
- صيغة فاولهابر
- ترميز (الرياضيات)
- صور وملفات صوتية من كومنز
التصنيفات: ترميز رياضي, جبر, جمع, حساب, صفحات بها وصلات إنترويكي, صفحات بها مراجع بالإنجليزية (en), بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات, صفحات تستخدم خاصية P227