قانون تركيب داخلي
عودة للموسوعةفي الرياضيات، وبشكل أدق في فهم الجبر التجريدي، قانون الهجريب الداخلي هوتطبيقً يربط عنصرين من المجموعة E، بعنصر من نفس المجموعة. بمعنى آخر، هوعملية ثنائية تكون فيها المجموعة E مستقرة.
يعد الجمع والضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية أمثلة كلاسيكية لقوانين الهجريبات الداخلية.
تُستخدم قوانين الهجريبات الداخلية والخارجية لتحديد البنيات الجبرية التي تشغل مكانًا متميزًا في الجبر التجريدي.
الأمثلة
في مجموعة الأعداد السليمة النسبية، يعد الجمع قانونًا للهجريبات الداخلية يتضمن عدة خصائص نذكر من بينها:
- 0 هوعنصر لهذا القانون: لأن إضافته إلى أي رقم يعطي الرقم نفسه: مثلا، خمسة + 0 =خمسة و 0 +ثمانية = 8.
- لكل عدد سليم، يوجد عدد آخر، يعاكسه (المصطلح العام هوالعنصر المعاكس)، حيث جمعهما، يعطي العنصر المحايد 0. نلاحظ المعاكس من خلال تغيير إشارة العدد السليم الأول. إلى غير ذلك: ثلاثة + (–3) = 0.
- يمكننا تبديل عنصرين حول علامة "
- يمكننا تجميع العناصر عندما نرغب بجمع أكثر من عددين: ثلاثة +خمسة + أربعة يمكن حسابها بطريقتين:
- عن طريق حساب ثلاثة +خمسة =ثمانية ثم نضيف أربعة للنتيجة،
- أوعن طريق حساب خمسة + أربعة =تسعة وبعدها حساب 3 + 9.
- هاتين الطريقتين تُؤديان إلى نفس النتيجة، والتي نلاحظها من خلال: (3 + 5) + أربعة = ثلاثة + (5 + 4) . ونقول حتى العملية تجميعية.
التعريف الرسمي
نسمي قانون هجريب داخلي في مجموعة E جميع تطبيق
مجموعة E مع قانون هجريب داخلي
بعض الأمثلة البديهية، لمجموعة E ليست فارغة.
- التطبيقات الثابتة: إذا كان c ينتمي إلى E :
- تطبيق اختيار التعبير على اليسار:
؛ - تطبيق اختيار التعبير على اليمين:
.
عناصر خاصة
المربعات
- يسمى عنصر
- على العكس، جميع عنصر x لديه مربع واحد، وعادة ما يشار إليه بـ " x2 "
- إذا كان القانون يرمز له بالجمع، سيُستخدم المصطلح " مزدوج" عوضاً عن المصطلح "مربع" .
- مثال : في المجموعة ℤ، مزدوج العدد ثلاثة (للجمع) هو6، ومربعه (للضرب) هو9.
- يسمى عنصر
- وفي تعبيرات أخرى، هذا العنصر له مربع خاص به.
- أمثلة:
- كل عنصر محايد في قانون ما فهوبلا تأثير بالنسبة لهذا القانون؛
- في جميع مجموعة عددية تحتوي على العنصرين 0 و1 فهما الوحيدين اللذين بلا ثأثير بالنسبة للضرب.
- أمثلة:
العناصر المحايدة
يسمى العنصر :
- محايد على اليسار إذا كان .
- محايد على اليمين إذا كان .
- محايد عندماقد يكون محايدًا على اليمين وعلى اليسار.
- أمثلة
-
- في ℝ، العنصر المحايد للجمع هو0، وللضرب هو1.
- في مجموعة المجموعات الجزئية X، تكون المجموعة الفارغة محايدة بالنسبة للاتحاد والمجموعة X محايدة للتقاطع.
كل عنصر محايد على اليسار أوعلى اليمين فهوبلا تأثير.
إذا وُجِدَ عنصر محايد على اليسار وعنصر محايد على اليمين، فإن القانون يعترف بعنصر محايد واحد، وكل عنصر محايد على اليسار أوعلى اليمين يساويه.
عندما يوجد عنصر محايد :
- يسمي العنصر
- يسمي عنصر
الامتصاصية
يسمي عنصر :
- ممتص على اليسار إذا كان: .
- ممتص على اليمين إذا كان: .
- ممتص إذا ممتص على اليمين وعلى اليسار.
- أمثلة
-
- في ℝ، العدد 0 ممتص بالنسبة للضرب.
- في مجموعة المجموعات الجزئية X، تكون المجموعة الفارغة ممتصة بالنسبة للتقاطع بينما تكون المجموعة X ممتصة بالنسبة للاتحاد.
كل عنصر ممتص على اليسار أوعلى اليمين فهوبلا تأثير.
إذا وُجِدَ عنصر ممتص على اليسار وعنصر ممتص على اليمين، فإن القانون له عنصر ممتص واحد، وأي عنصر ممتص على اليسار أواليمين يساويه.
عندماقد يكون للقانون عنصر ممتص ، يسمي عنصر عديم القوى (من الرتبة 2) إذا كان.
انظر أيضا
- الجبر الكامل
- تطبيق محافظ على الشكل
- ^ Cette utilisation de l'expression « opération binaire » est inspirée de l'expression anglaise « binary operation », utilisée en lieu et place de « loi de composition ». En mathématiques, le mot « عملية (رياضيات) » peut aussi désigner autre chose qu'une loi de composition interne.
مراجع
-
Éléments de mathématique. II. Springer. 1970. ISBN . الوسيط
|firstالأول=يفتقد|lastالأول=في الأول (مساعدة) - Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
التصنيفات: بنى جبرية, جبر تجريدي, أخطاء CS1: مؤلف أو محرر مفقود, بوابة جبر/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات
