التداخل الخطي (بالإنجليزية: Collinearity)‏ وتعهد أيضا بالتداخل الخطي المتعدد (Multicollinearity) في الإحصاء والنمذجة الإحصائية (خصوصا في نماذج الانحدار) هي خاصية تكون فيها متغيرات مستقلة قابلة للكتابة، عبر توليفة خطية، بدلالة متغيرات مستقلة أخرى.

يعتبر التداخل الخطي حالة غير مرغوب فيها بالنسبة للمتغيرات المفسرة بحكم أنه يشكل نوعا من تكرار المعلومة مما يعني حتى المتغيرات المتداخلة خطيا تفسر نفس الظاهرة ويستحسن تقليل عددها بسحب متغيرات من قائمة المتغيرات المفسرة. بعبارة أخرى، تكون المتغيرات المتداخلة تؤثر سلبيا على بعضها البعض (أي تزعج بعضها البعض إحصائيا)، داخل النموذج مما يستوجب تبني استراتيجية لإقصاء بعضها من النموذج.

التداخل الخطي هوخاصية أوظاهرة مرتبطة بالبيانات والمتغيرات وليس بالنموذج الإحصائي في حد ذاته.

العلاقة بين الارتباط والتداخل الخطي

• التداخل الخطي بين متغيرين أومجموعة من المتغيرات يعني بالضرورة أنها مرتبطة إحصائيا.
• باللقاء، الارتباط الإحصائي لا يعني بالضرورة وجود تداخل خطي.

تأثير التداخل الخطي على النماذج الإحصائية

في نماذج الانحدار الخطي، يؤدي وجود التداخل الخطي بين المتغيرات المفسرة إلى تقويض نجاعة النمذجة، خصوصا على المستويات التالية:

• تكبير تباينات معاملات النموذج، مما يعسر التصديق على قيمها ومغزاها الإحصائي.
• إمكانية ظهور مغزى إحصائي ضعيف للمعاملات (بقيم احتمالية p-value ضعيفة مما يؤكد فرضية انعدام معاملات الانحدار) رغم وجود علاقة ارتباط بين المتغير المستقل والمتغير التابع، وهوما قد يدفع الباحث إلى إقصاء متغير غير ذي مغزى ظاهريا عن طريق الخطأ.
• صعوبة تأويل المعاملات والتأثير الهامشي لتغير المتغير المستقل على قيمة المتغير التابع، إضافة إلى ظهور إشارات غير منطقية لبعض المعاملات تخالف المعارف المتوفرة في مجال الدراسة.
• عدم استقرار النموذج وحساسيته المفرطة تجاه إضافة أوحذف أفراد إحصائيين من العينة المدروسة.

تكمن خطورة التداخل الخطي في كونه يشكل عامل ضعف كامن للنموذج الإحصائي، فهولا يؤثر على مؤشرات جودة أخرى (معامل التحديد أونسبة خطأ التسقطات مثلا).

تعريف

توجد الكثير من التعريفات النظرية لمفهوم التداخل الخطي. أبسط تعريف، وهوالأكثر استخداما على المستوى العملي، ينص على اعتبار عتبة مقبولة لمعامل الارتباط بين متغيرين مستقلين (مثلا 0.8 أو0.7)، ويتم الحسم في الإبقاء على المتغيرات أوحذفها عبر تحليل مصفوفة الارتباط من منظور هاته العتبة. هذه التقنية قد تؤدي إلى قرارات خاطئة بحكم حتى ارتباطا مرتفعا بين متغيرين مفسرين لا يعني بالضرورة وجود تداخل خطي، مما يفرض تبني تعريفات وتقنيات للكشف أكثر رصانة من المنظور الإحصائي.

باعتبار نموذج انحدار لكتابة متغير تابع ${\displaystyle Y$ بدلالة ${\displaystyle p$ متغير مستقل ${\displaystyle X=(X_{1 ,X_{2 ,...,X_{p )$: ${\displaystyle {\widehat {Y ={\widehat {X \beta +\varepsilon$ ، انطلاقا من عينة مكونة من ${\displaystyle n$ فرد إحصائي.

• ${\displaystyle {\widehat {X ={\begin{pmatrix 1&x_{1 ^{1 &...&x_{1 ^{p \\1&...&x_{i ^{j &...\\1&x_{n ^{1 &...&x_{n ^{p \end{pmatrix$ مصفوفة ${\displaystyle n\times (p+1)$ لقيم ${\displaystyle X$ الملاحظة.
• ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{Y}=(y_1,y_2,...,y_n{)}^t}$${\displaystyle Y$ الملاحظة.
• ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$

للتبسيط، يفترض حتى المتغيرات موسطة ومختزلة، حتى تكون مصفوفة التغاير مطابقة لمصفوفة الارتباط.

نعتبر ${\displaystyle r}$${\displaystyle X_{j$ و${\displaystyle Y$.

التداخل الخطي التام

طريقة المربعات الصغرى في تقدير المعاملات ${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p+1}$

${\displaystyle \beta ={\frac {1 {n R^{-1 {\widehat {X ^{t {\widehat {Y =R^{-1 r$.

حالة التداخل الخطي التام هي التي تكون فيها ${\displaystyle R}$

التداخل الخطي الحاد

حالة التداخل الخطي الحاد تكون إذا كان محدد مصفوفة التغاير قريبا من ${\displaystyle det(X^{t X)\approx 0$ وهوما يعني بأن معكوسة مصفوفة التغاير تضم قيما جد مرتفعة، ونفس الأمر بالنسبة لمصفوفة تغاير القيم المقدرة لمعاملات النموذج ${\displaystyle {\widehat {\Omega _{\widehat {\beta ={\widehat {\sigma _{\varepsilon ^{2 (X^{t X)^{-1$. بالتالي تتخذ إحصائية اختبار ستيودنت ${\displaystyle t_{{\widehat {\beta _{j ={\frac {{\widehat {\beta _{j {{\widehat {\sigma _{{\widehat {\beta _{j$ لاختبار المغزى الإحصائي للمعاملات قيما ضعيفة مما يدفع إلى إقصاء المتغير الموافق ${\displaystyle X_{j$ من النموذج.

طرق الكشف عن التداخل الخطي

الطرق التالية تفترض القيام بتطبيق أولي لنموذج انحدار خطي، ويمكن حتى تؤدي إلى تطبيق تكراري للنمذجة إلى غاية تحييد التداخلات الخطية.

قاعدة كلاين

وهي قاعدة اعتباطية (ليست باختبار إحصائي) تقضي بوجود تداخل خطي لمتغيرين ${\displaystyle X_{j_1}}$${\displaystyle r_{j_{1 ,j_{2 ^{2 \gtrsim R^{2$.

عامل تضخم التباين

قاعدة كلاين تسمح فقط بترشيح المتغيرات التي يمكن حتى تكون مفسرة للتداخل الخطي بشكل ثنائي. من أجل تقييم عام للتداخل الخطي، من الضروري نمذجة جميع متغير مستقل ${\displaystyle X_j}$${\displaystyle R_{j ^{2$.

يعهد عامل تضخم التباين بالصيغة التالية: ${\displaystyle v_j=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->R_j^2}}$${\displaystyle V({\widehat {\beta _{j )={\frac {\sigma _{\varepsilon ^{2 {n v_{j$ وبالتالي حدثا كبرت قيمة ${\displaystyle v_{j$، تزايد عدم استقرار مقدر المعامل ${\displaystyle \beta _{j$ مما يقلل حظوظه في حتى ينجح في اختبار المغزى الإحصائي لعدم مساواته 0.

المقدار ${\displaystyle 1-R_{j ^{2$ يعهد بمستوى تحمل التداخل الخطي (Tolerance).

يتم تعريف عتبة للإقرار بمسؤولية ${\displaystyle X_{j$ في التسبب في حالة تداخل خطي، العتبات المتعارف عليها يمكن حتى تساوي بالنسبة لعامل التضخم ${\displaystyle v_{j$ أربعة أوخمسة أوعشرة (عامل تضخم أربعة يوافق مستوى تحمل 0.25).

عمليا، حساب ${\displaystyle p$ نموذج انحدار خطي لكل متغير مستقل بدلالة المتغيرات المفسرة الأخرى قد يحدث مرهقا. يمكن البرهنة على حتى المصفوفة العكسية لمصفوفة الارتباطقد يكون قطرها مشكلا من القيم ${\displaystyle v_{j$: ${\displaystyle v_{j =(X^{t X)_{(j,j) ^{-1$.

اختبار تجانس الإشارات

يمكن الكشف عن التداخل الخطي عبر مقارنة إشارة معامل ارتباط ${\displaystyle X_j}$${\displaystyle {\widehat {\beta _{j$.

إذا كانت ${\displaystyle sgn(r_{Y,X_{j )\not \equiv sgn({\widehat {\beta _{j )$ فذلك يعني حتى المتغير ${\displaystyle X_{j$ يقدم "تفسيرا" متناقضا للمتغير التابع وهوما يرشحه بقوة لكيقد يكون مسؤولا عن تداخل خطي.

اختبار فارار وغلاوبر

اختبار فارار وغلاوبر (Farrar & Glauber)، الذي نشر سنة 1967، يمكن من اختبار وجود التداخل الخطي بطريقة شاملة، ويفترض حتى يتم تطبيقه كشكل من التصديق النهائي على "سلامة" النموذج بعد استيفاء الاختبارات السابقة. الفرضية المنعدمة المختبرة هي:

• ${\displaystyle H_{0$: استقلالية المتغيرات المفسرة (أوتعامدها بالمعنى الجبري).

إحصائية الاختبار هي: ${\displaystyle S_{FG =-(n-1-{\frac {1 {6 (2p+5))$ وهي موزعة وفق توزيع مربع خي ذي ${\displaystyle {\frac {p(p-1) {2$ درجات حرية: ${\displaystyle S_{FG \backsim \chi _{\frac {p(p-1) {2 ^{2$.

مراجع