دالة الظل العكسية

في الرياضيات، دالة قوس الظل (بالإنجليزية: Arctangent)‏ لعدد حقيقي الفهم على ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi {2 ,{\frac {\pi {2 \right[$

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال ${\displaystyle \left]-{\frac {\pi {2 ,{\frac {\pi {2 \right[$

مشتق

دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على

{\displaystyle \mathbb {R

ودالتها المشتقة هي:

${\displaystyle \arctan 'x={\frac {1 {1+x^{2$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة: ${\displaystyle (\arctan x)'={d \over dx \arctan x$

نضع ${\displaystyle \theta =\arctan x$ :

{\displaystyle {\frac {d\theta {d\tan \theta ={\frac {d\theta {d\theta (1+\tan ^{2 \theta ) ={\frac {1 {1+\tan ^{2 \theta ={\frac {1 {1+x^{2

إثبات آخر

يمكن استنتاج مشتقة قوس الظل كالتالي:

1. معلوم حتى tan(arctan(x))=x بتفاضل الطرفين:

${\displaystyle (\tan(\arctan(x))'=x'$

نحصل على :

${\displaystyle {(\tan(\arctan(x))^{2 +1) {d \over dx {\arctan(x) =1$

بتبسيط tan(arctan(x)) نحصل على:

${\displaystyle {(x^{2 +1) {d \over dx {\arctan(x) =1$

وبترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة قوس الظل :

${\displaystyle {d \over dx {\arctan(x) ={\frac {1 {1+x^{2$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum _{k=0 ^{\infty (-1)^{k {\frac {x^{2k+1 {2k+1 =x-{\frac {1 {3 x^{3 +{\frac {1 {5 x^{5 -{\frac {1 {7 x^{7 +\cdots

المشتق العكسي

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة :

${\displaystyle x\,\arctan x-{\frac {1 {2 \ln \left(1+x^{2 \right)+C$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {C \setminus \left({\rm {i \left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1 {\rm {i \operatorname {artanh ({\rm {i x)={\frac {1 {2{\rm {i \ln \left({\frac {1+{\rm {i x {1-{\rm {i x \right)={\frac {\ln(1+{\rm {i x)-\ln(1-{\rm {i x) {2{\rm {i

حيث ${\displaystyle \operatorname {artanh x$

تمثيل الدالة العقدية

التمثيل البياني اللوني للدالة

{\displaystyle \arctan z

طالع أيضًا

دوال مثلثية عكسية
دالة الجيب العكسية
دالة جيب التمام العكسية

مراجع

^ ميشال إبراهيم ورامي أبوسليمان وفادي (2007-01-01). . Dar Al Kotob Al Ilmiyah دار الخط الفهمية. ISBN . مؤرشف من الأصل في 19 مارس 2020.

دالة الظل العكسية في المشاريع الشقيقة

صور وملفات صوتية من كومنز

تاريخ النشر: 2020-06-01 18:46:21
التصنيفات: تحليل حقيقي, دوال مثلثية, مقالات تحتوي نصا بالإنجليزية, بوابة رياضيات/مقالات متعلقة, بوابة تحليل رياضي/مقالات متعلقة, بوابة هندسة رياضية/مقالات متعلقة, جميع المقالات التي تستخدم شريط بوابات, بوابة علوم/مقالات متعلقة