في ميكانيك الكم الإحصائي، إنتروبي فون نيومان أوقصور فون نيومان الحراري، المنسوب إلى جون فون نيومان، امتداد لمفاهيم غيبس الكلاسيكية عن الإنتروبي إلى مجال ميكانيك الكم. لأجل نظام ميكانيك كمومي موصوف بمصفوفة كثافة ##رمز##، تكون إنتروبيا فون نيومان

${\displaystyle S=-\mathrm {tr (\rho \ln \rho ),$

إذ تشير ${\displaystyle \mathrm {tr$ إلى الأثر وتشير ln إلى مصفوفة اللوغاريتمات (الطبيعية). إذا خطت ρ بدلالة متجهاتها الخاصة ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots$ على الشك

${\displaystyle \rho =\sum _{j \eta _{j \left|j\right\rangle \left\langle j\right|~,$

تكون عندها إنتروبيا فون نيومان فقط:

${\displaystyle S=-\sum _{j \eta _{j \ln \eta _{j .$

بهذا الشكل، يمكن اعتبار S مكافئةً لإنتروبي شانون الخاصة بنظرية المعلومات.

خلفية

وضع جون فون نيومان أسسًا رياضيةً متينةً لميكانيك الكم في كتابه عام 1932 الأسس الرياضية لميكانيك الكم. وفيه وضع نظرية قياس توصف فيها عملية انهيار التابع الموجي على أنها عملية غير عكوسة (يسمى القياس الإسقاطي أوقياس فون نيومان).

قدم جميع من فون نيومان وليفّ لانداومفهوم مصفوفة الكثافة ولكن لدوافع مختلفة. كان دافع لانداوهواستحالة وصف منظومة جزئية من نظام كمومي معقد بواسطة شعاع حالة. على الجهة الأخرى، قدم فون نيومان مصفوفة الكثافة بهدف تطوير جميع من ميكانيك الكم الإحصائي ونظرية القياس الكمومية.

طُورت الصيغة الرياضية لمصفوفة الكثافة بهدف إعطاء المجال لأدوات الميكانيك الإحصائي التقليدي كي تستخدم في مجال الكم. نحسب، في إطار الميكانيك التقليدي، جملة حالات النظام (تابع التقسيم) بهدف تقييم جميع الكميات الترموديناميكية المحتملة. قدم فون نيومان مفهوم مصفوفة الكثافة في سياق حالات ومعاملات فضاء هيلبرت. ستسمح لنا فهم المعامل الإحصائي لمصفوفة الكثافة بحساب جميع الكميات المتوسطة بطريقة مماثلة من حيث المبدأ، ولكن مختلفة رياضيًّا. فرضا حتى لدينا مجموعة توابع موجية |Ψ〉تعتمد بارامتراتها على مجموعة من الأرقام الكمومية n₁, n₂, ..., n_N. المتغير الطبيعي الذي لدينا هوسعة الموجة التي يساهم بها تابع موجي محدد من المجموعة الأساسية في التابع الموجي العملي للنظام. لنخط مربع هذه السعة على الشكل p(n₁, n₂, ..., n_N). الهدف هوتحويل هذه الكمية p إلى تابع كثافة تقليدي في فضاء الطور. يجب حتى نتحقق حتى p(n₁, n₂, ..., n_N) تتناهى إلى تابع الكثافة عند الحد الكلاسيكي، وأن لها خواصَّ مسرانية (إرغوديكية). بعد التحقق من أنp(n₁, n₂, ..., n_N) ثابت حركي، فإن وضع افتراض مسراني للاحتمالات p(n₁, n₂, ..., n_N) يجعل p تابعةً للطاقة فقط.

بعد هذه العملية، نصل أخيرًا إلى صيغة مصفوفة الكثافة عند البحث عن شكل لا تتغير فيه p(n₁, n₂, ..., n_N) مع تغير التمثيل المستعمل. في الصيغة التي تخط بها، ستنتج قيمًا متسقطةً سليمةً حصرًا للكميات القطرية بالنسبة للأعداد الكمومية n₁, n₂, ..., n_N.

القيم المتسقطة للمعاملات غير القطرية تتضمن أطوار سعات الأمواج الكمومية. فرضا أننا نرمز الأعداد الكمومية n₁, n₂, ..., n_N في مرشد واحد، وليكن i أوj. عندهاقد يكون للتابع الموجي الشكل:

${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle \,=\,\sum _{i a_{i \,\left|\psi _{i \right\rangle .$

القيمة المتسقطة لمعامل ما B غير قطري في هذه التوابع الموجية تأخذ الشكل:

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle \,=\,\sum _{i,j a_{i ^{* a_{j \,\left\langle i\right|B\left|j\right\rangle .$

الدور المحجوز في الأصل للكميات ${\displaystyle \left|a_{i \right|^{2$يحل محله بالتالي مصفوفة الكثافة الخاصة بالنظام S.

${\displaystyle \left\langle j\right|\,\rho \,\left|i\right\rangle \,=\,a_{j \,a_{i ^{* .$

بالتالي، 〈B〉 تكون:

${\displaystyle \left\langle B\right\rangle \,=\,\mathrm {tr (\rho \,B)~.$

تصف نظرية المصفوفات لاتغير العبارة السابقة. وُصفت بنية رياضية يُحصل فيها على القيم المتسقطة للمعاملات الكمومية، كما تصفها المصفوفات، عن طريق أخذ أثر جداء معامل الكثافة ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}}$${\displaystyle {\hat {\rho$ للصيغة السابقة. رياضيًّا، فإن ${\displaystyle {\hat {\rho$ مصفوفة هيرميتية شبه منتهية لها أثر واحدي.

تعريف

بفهم مصفوفة الكثافة ρ ، عهد فون نيومان الإنتروبي على أنها:

${\displaystyle S(\rho )\,=\,-\mathrm {tr (\rho \,{\rm {\ln \rho ),$

وهي صيغة مناسبة لتوسيع مفهوم جميع من إنتروبي غيبس (حتى عامل ضرب k_B) وإنتروبي شانون بحيث يمكن تطبيقهما على الحالة الكمومية. لحسابS(ρ) من الملائم حساب الهجريب الشعاعي الذاتي (أوالهجريب الشعاعي الخاص) للتابع${\displaystyle ~\rho =\sum _{j \eta _{j \left|j\right\rangle \left\langle j\right|$ يعطى إنتروبي فون نيومان عندها بالعلاقة:

${\displaystyle S(\rho )\,=\,-\sum _{j \eta _{j \ln \eta _{j ~.$

بما حتى مصفوفة الكثافة راسخة (أومتساوية القوى) لأجل حالة صافية (أي ρ = ρ²)، فإن إنتروبيتها S(ρ) تختفي. لذا، فإن كان النظام منتهيًا (يمكن تمثيله بمصفوفة بعدية منتهية)، يكمِّم الإنتروبي S(ρ) مغادرة النظام للحالة الصافية. بحدثات أخرى، فإنه يرمز درجة مزج الحالة التي تصف نظامًا ما منتهيًا. يزيل القياس الترابط الكمي لنظام كمومي بحيث يصبح غير متداخل ويصبح ظاهريًّا نظامًا تقليديًّأ (ميكانيك كلاسيكي أوتقليدي)؛ لذا تتزايد مثلًا الإنتروبي المتلاشية لحالة صافية${\displaystyle \Psi =(\left|0\right\rangle +\left|1\right\rangle )/{\sqrt {2$ ، الموافقة لمصفوفة كثافة

${\displaystyle \rho ={1 \over 2 {\begin{pmatrix 1&1\\1&1\end{pmatrix$

إلى ${\displaystyle S=\ln 2\approx 0.69$لأجل مزيج نتائج القياس

${\displaystyle \rho ={1 \over 2 {\begin{pmatrix 1&0\\0&1\end{pmatrix$

عند تلاشي (مسح) معلومات التداخل الكمومي.

خصائص

بعض خصائص إنتروبي فون نيومان:

• S(ρ) معدومة إذا وفقط إذا مثلت ρ حالةً صافيةً.
• S(ρ) أعظمية وتساوي ln N عند حالة أعظمية المزج، حيث N تمثل بعد فضاء هيلبرت
• S(ρ) لامتغيرة عند تغيرات في أساس ρ، أي حتى S(ρ) = S(UρU^†)، حيث U تحول واحدي
• S(ρ) مقعرة، أي أنه لأجل مجموعة أعداد موجبةλ_iمجموعها واحدي (${\displaystyle \Sigma _{i \lambda _{i =1$=1) ومعاملات كثافة ρ_i،قد يكون لدينا

${\displaystyle S{\bigg ( \sum _{i=1 ^{k \lambda _{i \,\rho _{i {\bigg ) \,\geq \,\sum _{i=1 ^{k \lambda _{i \,S(\rho _{i ).$

• S(ρ) تحقق الشرط

${\displaystyle S{\bigg ( \sum _{i=1 ^{k \lambda _{i \,\rho _{i {\bigg ) \,\leq \,\sum _{i=1 ^{k \lambda _{i \log \lambda _{i +\sum _{i=1 ^{k \lambda _{i \,S(\rho _{i ).$

حيث تتحقق المساواة إذا كان لكل من المعاملات ρ_i حامل متعامد، وكما في السابق فإن ρ_i معاملات كثافة وλ_i مجموعة أعداد موجبة مجموعها واحدي (${\displaystyle \Sigma _{i \lambda _{i =1$)

• S(ρ) قابلة للجمع في الأنظمة المستقلة. بأخذ مصفوفتي كثافة ρ_A , ρ_B تصفان أنظمة مستقلة A B على التتالي،قد يكون لدينا:

${\displaystyle S(\rho _{A \otimes \rho _{B )=S(\rho _{A )+S(\rho _{B )$

• S(ρ) قابلة للجمع الجزئي التام لأجل أي ثلاث أنظمة A, B, and C::

${\displaystyle S(\rho _{ABC )+S(\rho _{B )\leq S(\rho _{AB )+S(\rho _{BC ).$

هذا يعني تلقائيًّا حتى S(ρ) قابلة للجمع الجزئي:

${\displaystyle S(\rho _{AC )\leq S(\rho _{A )+S(\rho _{C ).$

قابلية الجمع الجزئي

إذا كانت ρ_A, ρ_B مصفوفتين مختزلتين للحالة العامة ρ_ABقد يكون عندها:

${\displaystyle \left|S(\rho _{A )\,-\,S(\rho _{B )\right|\,\leq \,S(\rho _{AB )\,\leq \,S(\rho _{A )\,+\,S(\rho _{B )~.$

هذه المتراجحة اليمينية تُعهد باسم قابلية الجمع الجزئي. تعهد المتراجحتان معًا أحيانًا باسم المتراجحة المثلثة. أثبتهما عام 1970 هوزيهيروآراكي وإليوت ه. ليب. في حين لا تسمح نظرية شانون لإنتروبي نظام مركب حتى تكون أقل من إنتروبي أي من أجزائها، ففي نظرية الكم الوضع مختلف، أي أنه من الممكن تحقق S(ρ_AB) = 0 في حين S(ρ_A) = S(ρ_B) > 0.

يمكن فهم هذا بديهيًّا على الشكل التالي: في ميكانيك الكم، يمكن لإنتروبي النظام المجمع حتىقد يكون أقل من مجموع إنتروبيات مكوناته لأن هذه المكونات من الممكن حتى تكون متشابكة كموميًّا. يمكن مشاهدة هذا بشكل واضح مثلًا في الحالة الجرسية للفين (سبينين) من الرتبة ½s،

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\uparrow \downarrow \right\rangle +\left|\downarrow \uparrow \right\rangle ,$

هي حالة صافية معدومة الإنتروبي، لكن لكل من اللفين إنتروبي أعظمي عند احتسابه بشكل فردي في المصفوفة المختزلة لكثافته. يمكن للإنتروبي في لف واحد حتى «يُلغى» عن طريق ربطه بإنتروبي اللف الآخر. يمكن للمتراجحة اليسارية حتى يُفهم منها تقريبًا حتى الإنتروبي يمكن إلغاؤه فقط بكمية مساوية من الإنتروبي.

إذا كان للنظام A والنظام B مقداران مختلفان من الإنتروبي، لن يلغي أصغرهما إلا جزءًا من أكبرهما، ولا بد حتى يتبقى بعض الإنتروبي. وبشكل مشابه، يمكن حتى يُفهم من المتراجحة اليمينية حتى إنتروبي النظام المركبقد يكون أعظميًّا عندما لا ترتبط مركباته ببعضها البعض، وفي تلك الحالةقد يكون الإنتروبي الكلي مجرد مجموع الإنتروبيات الجزئية. يمكن حتىقد يكون هذا أكثر بديهيةً في صيغة فضاء الطور منه في فضاء هيلبرت إذ يتناهى إنتروبي فون نيومان في فضاء الطور إلى سالب القيمة المتسقطة من ★- لوغاريتم تابع ويغنر، −∫ f ★ log_★f  dx dp، وذلك سليم حتى انزياح محدد. حتى انزياح التسوية المحدد هذا،قد يكون الإنتروبي محدودًا بحده الأعظمي الكلاسيكي نفسه.

قابلية الجمع الجزئي التام

إنتروبي فون نيومان هوأيضًا قابل للجمع الجزئي التام (الجمع الجزئي القوي). بأخذ ثلاثة فضاءات هيلبرت A, B, C:

${\displaystyle S(\rho _{ABC )\,+\,S(\rho _{B )\,\leq \,S(\rho _{AB )\,+\,S(\rho _{BC ).$

برهان هذه النظرية أصعب وقد أُثبتت عام 1973 من قبل إليوت ه. ليب وماري بيث روسكاي، باستخدام متراجحة مصفوفية أثبتها إليوت ه. ليب عام 1973. باستخدام تقنية البرهان التي تكون الجهة اليسرى من المتراجحة المثلثة آنفة الذكر، يمكننا تبيان حتى متراجحة قابلية الجمع الجزئي التام تكافئ المتراجحة التالية:

${\displaystyle S(\rho _{A )\,+\,S(\rho _{C )\,\leq \,S(\rho _{AB )\,+\,S(\rho _{BC )$

حيث ρ_AB ..الخ هي مصفوفات الكثافة المختزلة لمصفوفة كثافة ρ_ABC. إذا طبقنا قابلية الجمع الجزئي العادية على الجهة اليسرى من هذه المتراجحة، وأخذنا بعين الاعتبار جميع تبديلات A, B, C نحصل على متراجحة ρ_ABC المثلثة: جميع من الأعداد الثلاثةS(ρ_AB), S(ρ_BC), S(ρ_AC)أصغر أويساوي مجموع الاثنين الآخرين.

الاستعمالات

يُستخدم إنتروبي فون نيومان بشكل واسع بأشكال مختلفة (إنتروبيات شرطية، إنتروبيات نسبية، إلخ..) في إطار نظرية المعلومات الكمومية. تبنى إجراءات التشابك (التماهي) على كمية ما تتعلق مباشرةً بإنتروبي فون نيومان. ولكن، ظهرت في أدبيات الفهم عدة أوراق بحثية تتعامل مع احتمالية عدم كفاءة طريقة شانون المعلوماتية، وبالتالي عدم كفاءة إنتروبي فون نيومان كتعميم كمومي ملائم لإنتروبي شانون. الحجة الرئيسية هي حتى طريقة شانون المعلوماتية في القياس الكلاسيكي هي إجراء طبيعي يرجع لجهلنا بخصائص النظام، الذي لا يتعلق وجوده بإجراء عملية القياس.

والعكس بالعكس، فالقياس الكمومي لا يمكن الزعم بأنه يبدي خصائص النظام الذي عثر قبل إجراء القياس. شجع هذا الجدل القائم بعض المؤلفين لتقديم خاصية عدم قابلية الجمع التي يتميز بها إنتروبي تساليس (تعميم لإنتروبي بولتزمان-جيبس المعياري) على أنها السبب الرئيسي لاسترجاع قياس معلومات كمومية حقيقي في السياق الكمومي، زاعمين حتى العلاقات غير المحلية يجب حتى توصف بسبب خصوصية إنتروبي تساليس.

مصادر